Giulio Giorello
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| Premessa Il problema della continuità è sempre stato considerato un problema centrale nella filosofia della matematica. In generale connesso a quello dell'infinità, esso è stato oggetto di indagine da parte di filosofi e matematici o discusso spesso da angolazioni differenti. Fin dai tempi di Newton, ad esempio, si è cercata la natura della infinità e della continuità attraverso le discussioni del cosiddetto 'calcolo infinitesimale'. Tuttavia, mentre in linea teorica questo calcolo solitamente oggi viene svincolato da una teoria degli infinitesimali, la matematica ha, a poco a poco, guadagnato un nuovo dominio che è logicamente antecedente ad esso, quello della teoria degli insiemi (in particolare, quello della teoria del transfinito). La tradizione filosofica ha in genere trattato il problema del continuo in stretta connessione con un riferimento essenziale allo spazio e al tempo: da questo punto di vista, veramente la problematica del continuo ha una lunga storia, che risale alla speculazione classica. Echi di tale speculazione non soltanto li ritroviamo continuamente nel pensiero matematico dell'età moderna, ma anche nell'emergere dell'esigenza critica del secolo XIX, come pure, anche se sottilmente sfumati e fusi con sollecitazioni e motivazioni di altra origine e natura, in certe attuali posizioni assunte dai vari indirizzi nella filosofia della matematica a proposito del problema della matematica del continuo. Ma la vera e propria svolta a carattere epistemologico appare situarsi nella seconda metà del secolo scorso: essa è agli inizi rappresentata da una teoria della continuità che viene sviluppata su una base, per così dire di matematica 'pura' svincolandosi pienamente da ogni concezione generica ed intuitiva della continuità. Si è avuto un'inversione del problema. Ancora nella filosofia di Kant, ''la filosofia dello spazio e del tempo precede quella della continuità, l'estetica trascendentale precede la dialettica trascendentale, le antinomie (per lo meno quelle matematiche) sono essenzialmente spazio-temporali'' (Russell [1] pag 365): in Kant si trova espresso con estremo vigore e in una particolare e originale connessione con una tematica filosofica, un punto di vista assai diffuso anche tra i matematici del suo tempo: quello appunto del legame tra continuità matematica e continuità spazio-temporale. La scoperta delle geometrie non euclidee, lo sviluppo di uno studio algebrico astratto, il processo di aritmetizzazione della Analisi sono tutti procedimenti che hanno invece contribuito a una svolta in questo senso. Il presente lavoro comincia proprio da questa svolta, per esaminarne alcune implicanze, ed in particolare la connessione con una delle più ambiziose teorie della infinità matematica che mai siano apparse, la teoria del transfinito; esso è diviso in cinque parti: la parte I fa riferimento alla 'svolta' di cui sopra, esaminando la teoria dei numeri reali e della continuità di Cantor e quella di Dedekind, due 'punti fermi' della Analisi del secolo scorso, oggi accettati usualmente dalla prassi matematica (anche se non mancano alcune critiche radicalmente riduttive come quelle intuizioniste). La II parte esamina il problema del continuo alla luce di questa svolta e in connessione con la teoria del transfinito: l'esplorazione del continuo in chiave di teoria del transfinito porta infatti a cogliere un particolare aspetto del problema che presenta lati non meno sorprendenti e paradossali della problematica classica. La II parte ha un taglio più propriamente storico: al fine di una discussione teoretica del problema del continuo, relativa ai recenti sviluppi dell?indagine logica della teoria degli insiemi, è parso opportuno infatti osservare anche la genesi storica del problema (insiemistico) del continuo, soprattutto riferendosi al principale creatore della teoria degli insiemi, Georg Cantor. La III parte, per completezza, accenna a una trattazione del continuo che è sostanzialmente diversa da quella 'ingenua' cantoriana, sia dalle attuali teorie assiomatiche che tentano di ricostruire 'il paradiso' della teoria di Cantor. Nella parte IV invece viene affrontata la questione nell'ambito degli sviluppi contemporanei delle teorie assiomatico-formali degli insiemi. La parte V contiene infine una discussione dei risultati di cui alla parte precedente e indica la nuova forma che vengono ad assumere oggi i problemi connessi al continuo insiemistico. Il criterio seguito nell'esposizione di parti tecniche è il seguente: ogni concetto relativo alla teoria degli insiemi viene definito nel corpo del lavoro. Concetti e tecniche relative ad altre teorie matematiche sono invece presupposti. In particolare è presupposta la conoscenza della logica elementare. |
