Il pendolo semplice

Passiamo ora a considerare una categoria di oscillatori armonici semplici la cui componente elastica è affidata alla forza di gravità invece che a elementi propriamente elastici come un filo o una molla. Per avere una visone più generale del fenomeno, prendiamo in considerazione un pendolo semplice, costituito da un corpo puntiforme di massa m appeso ad un filo di lunghezza L, inestensibile e privo di massa. Il corpo è libero di dondolare avanti e dietro in un piano, a sinistra e a destra di una linea verticale passante per il punto nel quale è fissato l'estremo superiore del filo. Le forze agenti sulla particella sono la forza gravitazionale Fg e la tensione T del filo. Scomponiamo Fg nella componente radiale Fgcosθ e nella componente Fgsinθ tangente all'arco di circonferenza descritto dalla particella. Questa componente tangenziale è una forza compensatrice, perché agisce sempre in senso opposto allo spostamento della particella, tenendo così a riportarla verso la posizione centrale, la posizione di equilibrio (θ=0), dove resisterebbe in condizione di riposo se non stesse oscillando. Il momento della forza compensatrice di richiamo è espresso dall'equazione:
τ = -L(Fgsinθ)
ove il segno meno indica appunto che τ agisce per ridurre lo spostamento e L è il braccio rispetto al perno della componente tangenziale di Fg. Sostituendo l'equazione precedente nell'equazione τ=Iα e ponendo Fg=mg, si ottiene:                     
-L(mgsinθ) =  Iα
in cui I rappresenta il momento di inerzia del pendolo rispetto al perno e α è la sua accelerazione angolare. Si può semplificare quest'ultima equazione assumendo che l'angolo θ sia molto piccolo, in modo che il valore di sinθ dia praticamente uguale al valore di θ espresso in radianti. Con questa sostituzione di ha:                                       α = -(mgL/I)θ
Quindi l'accelerazione α di un pendolo è proporzionale allo spostamento angolare θ cambiato di segno. Se per esempio il pendolo sta oscillando verso sinistra, la sua accelerazione diretta verso destra accresce fino ad arrestarlo e a invertire il suo movimento. Quando il pendolo torna a muoversi verso destra, la sua accelerazione diretta verso sinistra tende ad invertire nuovamente il verso, e così via in un moto di andirivieni che è armonico. Più precisamente si può affermare che un pendolo semplice che oscilla su un angolo piccolo approssima un oscillatore armonico semplice. Possiamo anche esprimere questa restrizione nel modo seguente: l'ampiezza angolare θm, uguale al massimo angolo di spostamento rispetto alla posizione di riposo, deve essere piccola. Inoltre, confrontando le equazioni α=-(mgL/I)θ e  a(t)=-ω2x(t) deduciamo che la pulsazione del pendolo è ω=√mgL/I. Sostituendo poi quest'ultima nella  ω=2π/T=2πν, il periodo del pendolo risulta essere:
 T = 2π√I/mgL e semplificando T = 2π√L/g (periodo semplice, piccole oscillazioni)