Calcolo delle probabilità in Bayes

Oggi riguardo al modo di procedere della scienza nell’utilizzo del calcolo delle probabilità, predomina l’impostazione di Bayes. Egli è convinto del fatto che il soggettivismo non è da considerarsi in maniera estrema. Bayes afferma che se io scopro una evidenza (e) la probabilità aggiornata che la nostra teoria (H) sia vera dato e è uguale alla probabilità di H per la prob. di e dato H diviso la prob. di e.
                   p(H/e) =  p(H) p(e/H)    questo è il teorema di Bayes banalizzato.
    p(e)
Probabilità condizionata: io voglio calcolarmi la probabilità di un evento condizionato da un altro. Facciamo un esempio. Io lancio un sasso in mezzo alla stanza e sono sicuro che cadrà in una zona che chiamo B. come faccio a calcolarmi la probabilità che il sasso cada in una striscia di pavimento che chiamo A dato che sicuramente cadrà in B?
    Io voglio calcolare A dato B
        B è la condizione

 p (a/b) =  p(a&b)                      questa è la formula che descrive l’intersezione cioè casi favorevoli
                    p(b)                      casi possibili (dove sicuramente cadrà)
[Faccio una piccola parentesi sulla probabilità: se a e b sono due eventi slegati, cioè indipendenti per calcolare la probabilità che si verifichino entrambi matematicamente si la moltiplicazione p(a&b) = p(a) p(b). Se invece i due eventi sono legati, in base a quale dei due è condizione dell’altro si usa la formula p(a&b) = p(a) p(b/a) o viceversa (cioè p(a/b), in base a quale dei due eventi è condizione dell’altro)].
Bene. L’esempio serviva per mettere in luce come va calcolata la probabilità condizionata; questo adesso ci servirà per dimostrare come la macchina Bayesiana funziona discretamente non solo con gli eventi ma anche con le teorie in relazione agli eventi.
Poniamo di avere un’urna con 10 palline di cui non conosciamo esattamente il colore; per questo motivo facciamo 2 ipotesi:
H1= 6 palline rosse e 4 bianche
H2= 6 palline bianche e 4 rosse
Facciamo anche l’ipotesi che la probabilità che si verifichi H1 sia ½ e così anche H2. Bayes a proposito di questa ipotesi di probabilità dice che noi possiamo mettere qualunque valore che va da 0 a 1. A suo avviso il parametro soggettivo di probabilità può essere qualsiasi numero reale da 0 a 1. Volendo potremmo anche ipotizzare che la probabilità che l’ipotesi 1 sia vera è 0 ossia non si verifica mai perché ad esempio non esistono palline rosse. Quel valore verrebbe poi smentito o confermato dal calcolo. Quindi per B. quello dell’ipotesi della probabilità è irrilevante. Noi invece diciamo con il prof. che la probabilità è in parte razionalizzabile, perché comunque partiamo dal presupposto che ci sono dieci palline e quindi possiamo provare a fare una stima di come all’interno dell’urna siano suddivise. L’ipotesi sulla probabilità non ha alcun valore fino a quando non verrà calcolata la probabilità aggiornata alla luce di un’estrazione che chiameremo evento e.