Pressione, temperatura e velocità quadratica media

Supponiamo di racchiudere n moli di gas ideale in una scatola cubica di volume V. Le pareti della scatola sono mantenute alla temperatura T. Qual'è la relazione tra la pressione p esercitata dal gas sulle pareti e le velocità delle molecole? Le molecole nella scatola si muovono in tutte le direzioni e con velocità diverse, sbattendo l'una contro l'altra e rimbalzando dalle pareti della scatola come palle su un tavolo da bigliardo. Una molecola tipica, di massa m e velocità v, sta per urtare la parete. Poiché supponiamo che qualsiasi collisione di una molecola con una parete sia elastica, quando questa molecola collide con la parete, la sola componente della sua velocità che cambia è la componente x, e questa componente si inverte. Ciò significa che l'unico cambiamento nella quantità di moto della particella è lungo l'asse delle x, ed è dato da:
Δpx = (-mvx)-(mvx) = -2mvx
Quindi la quantità di moto Δp trasmessa alla parete dalla molecola durante la collisione è +2mvx (qui p non rappresenta la pressione ma la quantità di moto ed è una grandezza vettoriale). La molecola colpirà ripetutamente la parete. Il tempo Δt tra le collisioni è il tempo che la molecola impiega per arrivare fino alla parete opposta e ritornare nuovamente indietro (una distanza di 2L) alla velocità vx. Per cui Δt è uguale a 2L/vx. Di conseguenza la singola molecola trasmette, mediamente, alla parete, una quantità di moto nell'unità di tempo uguale a:
Δpx/Δt = (2mvx)/(2L/vx) = mvx2/L
Dalla seconda legge di Newton (F=dp/dt), il rapporto temporale col quale la quantità di moto è trasmessa alla parete corrisponde alla forza che agisce su quella parete. Per trovare questa forza, dobbiamo sommare i contributi di tutte le altre molecole che colpiscono la parete, tenendo conto che esse possono avere velocità diverse. Dividendo la forza totale per l'area della parete (L2) si ottiene la pressione p su quella parete; ora e per il resto di questa discussione p rappresenta la pressione. Per cui:     p = Fx/L2 = mvx12/L+mvx22/L+...+mvxN2/L = (m/L3)(vx12+vx22+...+vxN2)
dove N è il numero delle molecole contenute nella scatola. Poiché N=nNA, ci sono nNA, termini nella seconda parentesi dell'equazione precedente. Possiamo pertanto sostituire questa quantità tra parentesi con nNAvx2, dove vx2, è il valore medio del quadrato delle componenti x di tutte le velocità molecolari. L'equazione precedente diventa quindi:
p = (nmNA/L3)/(vx2)
Ma mNA è la massa molare M del gas (cioè la massa di 1 mol). Inoltre, L3 è il volume della scatola, per cui:                                                          p = nMvx2/V
Per ogni molecola, v2=vx2+vy2+vz2. Poiché ci sono molte molecole e poiché sono tutte in movimento in direzioni casuali, i valori medi dei quadrati delle componenti della loro velocità sono uguali, per cui vx2=1/3v2. L'equazione precedente diventa perciò:
p = nMv2/3V
La radice quadrata di v2 è una sorta di velocità media, denominata velocità quadratica media delle molecole ed è rappresentata dal simbolo vqm. Il suo nome la descrive abbastanza bene: si eleva al quadrato ogni velocità, si trova la media di tutte queste velocità al quadrato, e poi si estrae la radice quadrata. Possiamo quindi scrivere l'equazione precedente come:
p = nMvqm2/3V
Questa equazione si avvicina moltissimo allo spirito della teoria cinetica. Essa ci dice come la pressione del gas (una quantità puramente macroscopica) dipenda dalla velocità delle molecole (una quantità puramente microscopica). Inoltre, possiamo ribaltarla e usarla per calcolare vqm. Combinando l'equazione precedente con la legge dei gas ideali pV=nRT si arriva a: vqm = √3RT/M