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Algebre gruppali e loro gruppo delle unità. La congettura di Hartley.

Informazioni tesi

  Autore: Erasmo Modica
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 2001-02
  Università: Università degli Studi di Palermo
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Antonio Giambruno
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 87

In questa trattazione si studia il problema di classificare i gruppi G tali che il gruppo delle unità della corrispondente algebra gruppale FG soddisfi una identità gruppale.
In quest’ambito, nei primi anni ’80 B. Hartley pose una congettura che
mette in relazione le identità gruppali di U(FG) con le identità polinomiali di FG.
In tale congettura Hartley sosteneva che se G è un gruppo di torsione e U(FG) soddisfa una identità gruppale, allora FG soddisfa una identità polinomiale.
Inizialmente vengono dimostrati alcuni risultati fondamentali nel caso in cui FG è un'algebra gruppale semiprima; successivamente viene data la dimostrazione della congettura di Hartley nel caso in cui F è un campo di caratteristica p e G un p’-gruppo localmente finito, che poi viene estesa a F generico campo e G gruppo di torsione. Per concludere viene presentata la caratterizzazione di Passman per l'inversione della congettura.

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INTRODUZIONE Sia FG l’algebra gruppale di un gruppo G sul campo F e sia )(FGU il gruppo delle unità di FG . Uno degli obiettivi della teoria delle algebre gruppali è quello di mettere in relazione le proprietà del gruppo delle unità )(FGU di FG e le proprietà di FG . E’ facile vedere che in generale il gruppo )(FGU è molto più ampio di G. Infatti se G è un gruppo finito e 0 charF , per il teorema di Wedderburn, l’algebra gruppale si decompone nella somma diretta di anelli di matrici su corpi su F. Quindi in questo caso se G non è abeliano, )(FGU contiene una copia del gruppo generale lineare )( 2 FGL oppure un corpo D. In questa trattazione studieremo il problema di classificare i gruppi G tali che il gruppo delle unità della corrispondente algebra gruppale soddisfi una identità gruppale. Si ricordi che un’identità gruppale per un gruppo U è una parola non vuota di un gruppo libero di rango maggiore di 1 che è identicamente uguale a 1 quando è valutata in U . In quest’ambito, nei primi anni ’80 B. Hartley )19941939( pose una congettura che mette in relazione le identità gruppali di )(FGU con le identità polinomiali di FG . Si ricordi che se ⊥  n xxxF ,...,, 21 è l’algebra libera su F generata da n xxx ,...,, 21 , allora ⊥  nn xxxFxxxf ,...,,),...,,( 2121 è una identità polinomiale per un’algebra A se 0),...,,( 21 ζ n xxxf e se 0),...,,( 21 n aaaf , per ogni scelta di Aaaa n ,...,, 21 .

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Parole chiave

algebra
algebra gruppale fg
algebre gruppali
caratterizzazione di passman
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congettura di hartley
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identità gruppali
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