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Stima della volatilità per processi di diffusione

Informazioni tesi

  Autore: Andrea Odetti
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 1997-98
  Università: Università Commerciale Luigi Bocconi di Milano
  Facoltà: Economia
  Corso: Discipline Economiche e Sociali
  Relatore: Donato Cifarelli
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 173

Questa tesi si occupa della stima non parametrica della volatilità per i processi di diffusione. Tale coefficiente riveste un ruolo molto importante nella modellizzazione matematica di fenomeni economici e finanziari, basti ricordare il lavoro di Black & Scholes sulle opzioni.

Si è scelta una stima non parametrica per non imporre condizioni esterne, e spesso arbitrarie, alla specificazione del coefficiente di diffusione: la stima avviene quindi in uno spazio infinito-dimensionale (come quello di tutte le funzioni regolari su un intervallo).

Sono state analizzate due situazioni relative al possibile campionamento: continuo o discreto.

Il campionamento è continuo quando si ha a disposizione l'intera traiettoria osservata del processo: in questo caso esiste una relazione deterministica tra le osservazioni e il coefficiente di diffusione (più precisamente tra la variazione quadratica e la volatilità). Il problema riguarda l'impossibilità di avere a disposizione delle osservazioni continue di un processo stocastico (si potrà avere ad esempio la quotazione di un titolo ogni 10 minuti o ogni minuto, ma mai in maniera continua). Tale approccio è però utile come punto di partenza per l'analisi della situazione nel caso di un campionamento discreto.

La costruzione di uno stimatore nel caso di un campionamento discreto segue la stessa strada percorsa per lo stimatore continuo: si procede all'approssimazione della variazione quadratica e delle relazioni che la legano al coefficiente incognito. Lo stimatore così ricavato gode di interessanti proprietà a livello statistico, quali la convergenza in probabilità, ed assume la forma di una media mobile delle variazioni del processo tra due istanti adiacenti (stimatore basato sul nucleo).

Nella parte finale della tesi ho descritto la realizzazione informatica di un programma che implementa effettivamente le procedure per la stima basata su un campionamento discreto. Ho infine analizzato un caso reale: la copertura di un'opzione.

Sulla base delle competenze acquisite con questa tesi ho potuto seguire il corso DEA di specializzazione presso l'Università Parigi 6.

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1 Il ruolo dei processi di diffusione e della stima In questa tesi ho voluto analizzare il problema della stima della volatilità per i processi di diffusione. L'importanza della questione risiede nel fatto che tali processi stocastici vengono sempre di più impiegati come modello matematico di fenomeni economici e finanziari. È sufficiente ricordare che uno degli ultimi Premi Nobel per l'economia è stato assegnato per studi e analisi sulla corretta determinazione del prezzo equo delle opzioni, mediante un modello che coinvolge un processo di diffusione. Uno dei momenti più importanti nella costruzione di un modello matematico per fenomeni reali è rappresentato dalla determinazione dei coefficienti incogniti del sistema (di qualsiasi natura essi siano): il procedimento quasi sempre parte dalla serie storica delle osservazioni, per giungere attraverso una stima ai valori dei coefficienti che meglio si adattano all'evoluzione passata del fenomeno. Non è però detto che essi siano anche i migliori per la previsione del comportamento futuro del sistema, ma restano quando di meglio si può ipotizzare, sulla base delle osservazioni passate, per predire il futuro. È chiaro che improvvisi e non prevedibili eventi inficiano la capacità predittiva del modello. Qualsiasi modellizzazione della realtà non può fare a meno di confrontarsi con la presenza di perturbazioni apparentemente casuali che richiederebbero l'inserimento di una quantità così elevata di variabili, da rendere pressoché impossibile l'utilizzo del modello stesso. Proprio per questo motivo si fa ricorso a modelli stocastici, nei quali tutte queste perturbazioni (presenti, ma sostanzialmente inutili ai fini esplicativi se prese singolarmente) vengono imputate a una fonte casuale: tale fonte non è però completamente casuale, ma dipendente da alcuni coefficienti, di cui si può studiare il comportamento. Un po' come è avvenuto nelle scienze fisiche dove, accanto a impostazioni di tipo completamente deterministico, come la meccanica classica, esistono studi in cui la componente probabilistica è divenuta quella prioritaria. Nel caso dei processi di diffusione i coefficienti incogniti rientrano in due categorie: • il coefficiente di deriva determina la direzione del movimento: una sorta di bussola che indica in ogni momento velocità e direzione del moto. Per un sistema di variabili finanziarie si può immaginare una tendenza al rialzo o al ribasso di diversa intensità per le differenti componenti; • il coefficiente di diffusione rappresenta invece l'influsso del caso: maggiore è il valore della diffusione, più alto sarà lo scarto tra la direzione effettiva e quella teorica (indicata dalla deriva).

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Parole chiave

campionamento
coefficiente di diffusione
equazioni differenziali stocastiche
options
opzioni
processi stocastici
simulazione monte carlo
stime non parametriche
swaption

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