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Immagini JPEG e analisi di Fourier: la Trasformata Coseno Discreta (DCT)

Analizza gli strumenti matematici alla base dell’algoritmo JPEG per la compressione delle immagini digitali, cui segue un approfondimento di tematiche analitico-algebriche correlate all’argomento.

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Introduzione L’obiettivo di questo elaborato è l’analisi degli strumenti matematici al- la base dell’algoritmo JPEG per la compressione delle immagini digitali, a cui viene fatto seguire un approfondimento di tematiche analitico-algebriche correlate all’argomento. Nel primo capitolo, dopo una breve introduzione ai più conosciuti formati di compressione, si descrive la struttura dell’algoritmo relativo allo standard JPEG, che fonda la propria efficienza sull’uso della Trasformata Coseno Di- screta (DCT). In seguito vengono esplicitate le motivazioni che portano alla scelta dell’uso di una trasformata di soli coseni, nel caso continuo ed in quello discreto. Il secondo capitolo introduce la versione semplificata, elaborata da noi, dell’algoritmo JPEG. Diversamente dall’originale, il nostro procedimento non prevede la compressione dei coefficienti della 2D-DCT quantizzati, ma pro- segue direttamente per passaggi inversi a ricomporre l’immagine compressa mediante la 2D-IDCT. In entrambi i casi il processo di quantizzazione in- troduce una notevole perdita informativa che si ripercuote sulla qualità del- l’immagine finale, quindi la scelta della matrice di quantizzazione ricopre un ruolo fondamentale nelle fasi dell’algoritmo. Nel terzo capitolo, infatti, si illustra con alcuni esempi la necessità di differenziare i coefficienti di tale matrice in base al tipo di frequenza di de- stinazione. Infine, nel quarto capitolo si dimostra che le basi della Trasformata Discre- ta di Fourier (DFT) e della DCT sono ortogonali seguendo due procedimenti diversi: nel primo si calcola direttamente il prodotto tra i vettori di base del- le trasformate e nel secondo si utilizza l’idea, tratta dall’articolo di Gilbert Strang The Dicrete Cosine Transform del 1999 (vedi [2]), di considerare tali vettori come autovettori di particolari matrici simmetriche. iii

Laurea liv.I

Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Autore: Cinzia Giovanna Bicego Contatta »

Composta da 54 pagine.

 

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Disponibile in PDF, la consultazione è esclusivamente in formato digitale.