Equazioni di diffusione frazionarie e applicazioni

Il comportamento collettivo di una popolazione è il risultato dell’azione dei singoli individui; in particolare, la dinamica collettiva è basata sull’entità dei singoli spostamenti, un fattore essenziale in fenomeni su ampia scala come la diffusione di epidemie a livello nazionale o continentale. Alla luce della crescita del commercio e degli spostamenti a livello internazionale la conoscenza delle proprietà statistiche e dinamiche degli spostamenti umani è di vitale importanza. L’analisi diretta è molto complessa e una stima statisticamente rilevante della dispersione su ogni scala spaziale non esiste.
Nella trattazione verranno introdotti gli strumenti matematici e i modelli fisici atti alla descrizione di un sistema che presenti grandi capacità di spostamento; si introdurrà in seguito un tecnica recente che permette di ottenere un modello per la diffusione della popolazione umana.
Il primo capitolo è dedicato al concetto di derivata frazionaria e alla sue proprietà; si introdurranno poi alcuni teoremi tauberiani, che permettono di legare il comportamento asintotico di una funzione al comportamento della sua trasformata nell’intorno dell’origine. Infine è presente una breve introduzione alle distribuzioni di Lévy e al teorema del limite centrale generalizzato, che permette di gettare un ponte fra un random walk e il fenomeno diffusivo ad esso associato.
Il secondo capitolo illustra lo schema del Continuous Time Random Walk o schema CTRW, grazie al quale è possibile descrivere cammini aleatori di carattere più generale rispetto alla trattazione classica; considerando il limite asintotico si otterranno delle equazioni differenziali frazionarie che descrivono processi super- o subdiffusivi.
Infine l’ultimo capitolo illustra il metodo innovativo accennato sopra. L’idea principale è quella di inferire le proprietà statistiche della dinamica umana analizzando la circolazione su diverse scale spaziali di singole banconote.
L’analisi mostra che la distribuzione spaziale decade a legge di potenza: questo indica che la dinamica delle banconote nasce da un random walk superdiffusivo e privo di grandezze scala noto come volo di Lévy. Inoltre la probabilità di rimanere in una piccola regione per un tempo T è dominata da una coda algebrica che attenua l’andamento superdiffusivo. La dispersione delle banconote può essere descritta con grande precisione da un modello CTRW; la dinamica risulterà essere, quindi, un processo ambivalente anche se effettivamente superdiffusivo.