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Sviluppo e stima di un modello ecologico non lineare di reazione e diffusione tramite il metodo degli elementi finiti

Informazioni tesi

  Autore: Francesco Vittori
  Tipo: Laurea liv.II (specialistica)
  Anno: 2007-08
  Università: Università degli Studi di Siena
  Facoltà: Ingegneria
  Corso: Ingegneria informatica
  Relatore: Chiara Mocenni
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 84

Questo lavoro di tesi parte da un modello ecologico di competizione preda-predatore tra fitoplancton e zooplancton sviluppato da M. Garvie (2007)*: si tratta di un modello non lineare di reazione-diffusione con equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico e dinamica spazio-temporale. Tali equazioni hanno per variabili la concentrazione della preda e del predatore e sono caratterizzate da parametri sia per il termine di reazione che per quello di diffusione.
Il modello, una volta definiti un dominio spaziale bidimensionale e un orizzonte temporale, è stato discretizzato mediante il metodo delle differenze finite (secondo lo schema proposto da Garvie nel suo studio) e ne sono state effettuate simulazioni al variare dei valori dei parametri.
Partendo dalla simulazione prodotta con valori nominali, è stata effettuata una procedura di stima dei parametri di reazione e del coefficiente di diffusione nel caso di disponibilità di informazione solo per un numero limitato di punti del dominio spaziale: i parametri del termine di reazione vengono stimati a partire dalla dinamica di un determinato punto, dopodiché vengono utilizzati per predire il coefficiente di diffusione considerando l’evoluzione dell’intera griglia di discretizzazione ad un istante finale prestabilito.
La stima è stata ulteriormente raffinata con un procedimento iterativo che permette di ottenere valori dei parametri molto vicini a quelli del modello nominale, con un basso errore quadratico medio. Sono state analizzate le prestazioni al variare del numero di iterazioni della procedura e dei valori del coefficiente di diffusione ottenuti.
Viene poi introdotto il metodo degli elementi finiti, tecnica numerica per la risoluzione approssimata di equazioni alle derivate parziali nella quale, dopo aver diviso il dominio continuo in primitive di semplice forma (o elementi finiti), le soluzioni vengono espresse come combinazioni lineari di funzioni di base del dominio discreto, in genere funzioni polinomiali a tratti. I coefficienti di tali combinazioni lineari, detti gradi di libertà, costituiscono le incognite di un sistema di equazioni algebriche che approssima il sistema differenziale di partenza.
Nel lavoro di tesi vengono trattati esempi di utilizzo del metodo degli elementi finiti nello sviluppo di modelli di reazione-diffusione nel campo della modellistica biochimica e delle applicazioni biomediche, tratti dalla letteratura scientifica. Sono inoltre citati casi di studio e di utilizzo del metodo in altri settori ingegneristici, come l’elettromagnetismo applicato.
Dopo l’introduzione teorica al metodo, viene sviluppato il modello discretizzato agli elementi finiti del sistema continuo di partenza e ne vengono mostrate le simulazioni ottenute a mezzo di pacchetti software appropriati. Sono state infine valutate le performances di stima di alcuni parametri di tale modello discretizzato, in particolare i coefficienti rispetto ai quali le equazioni del modello continuo sono lineari.

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3 Introduzione La dinamica di popolazione del plancton oceanico è una delle problematiche scientifiche di particolare interesse nella modellistica ambientale, sia per gli sviluppi metodologici implicati da tale studio che per gli apporti forniti ad altre discipline interessate all’ambito oceanografico e alle sue applicazioni. Per quanto riguarda i modelli di popolazione, i più famosi sono certamente quelli preda- predatore, che descrivono l’evoluzione delle popolazioni della preda e del predatore in funzione delle caratteristiche di fertilità di ciascuna specie, dell’efficienza di predazione e della sostenibilità dell’ecosistema in cui vivono. Nel caso del plancton oceanico, avendo a che fare con specie biologiche microscopiche (ovvero fitoplancton e zooplancton), più che di popolazione si preferisce parlare di concentrazione, prendendo spesso le misure della concentrazione di clorofilla-a come stima del fitoplancton (Allegretto et al. (2005, [6]), Fu et al. (1998, [35]), Garulli et al. (2003, [37]), Mocenni et al. (2006, [73]), Zaldivar et al. (2003, [125]), Mocenni et al. (2006, [74]), Allen et al. (2002, [7]), Mocenni et al. (2006, [75]), Scapecchi (2000, [103]), Sparacino (2005, [112]), Vittori (2006, [122])). La maggior parte dei lavori precedenti tuttavia riguarda concentrazioni misurate in situ, quindi relative a determinati punti dell’ecosistema in studio. Tale approssimazione è tipica dell’osservazione di ecosistemi di ridotte dimensioni (come laghi e lagune costiere), oppure che siano circoscritti e con scarsa comunicazione con l’ambiente esterno. Nel caso oceanico, data la vastità dell’ecosistema considerato e la presenza di flussi di ingente proporzione, le misurazioni in situ non possono essere considerate attendibili: da ciò la necessità di passare da modelli di tipo concentrato, che considerano esclusivamente l’evoluzione nel tempo, a modelli di tipo distribuito, in cui si tiene conto anche della dinamica spaziale. Il modello classico preda-predatore viene modificato inserendo così un termine di diffusione, che permetta di tenere conto della variabilità spaziale delle grandezze descritte: da qui l’impiego dei modelli di reazione-diffusione, già ampiamente utilizzati e studiati in numerosi ambiti scientifici, quali la chimica, la biologia e la fisica. Per lo studio e la raccolta dati di tali processi è spesso utile passare dalle misurazioni basate sui siti di monitoraggio all’utilizzo degli strumenti di telerilevamento e delle immagini da essi

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Parole chiave

equazioni reazione-diffusione
metodo degli elementi finiti
metodo delle differenze finite
modelli preda-predatore
modellistica ambientale
stima ai minimi quadrati
stima parametrica

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