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Teorema di Liouville e sue generalizzazioni

Informazioni tesi

  Autore: Simone Camosso
  Tipo: Laurea liv.II (specialistica)
  Anno: 2009-10
  Università: Università degli Studi di Torino
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Domenico  Delbosco
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 65

Il teorema di Liouville costituisce uno strumento molto importante nella costruzione di teorie matematiche, ad esempio tramite esso si dimostra il teorema fondamentale dell'algebra e l'esistenza dello spettro per un operatore lineare continuo in uno spazio di Banach complesso. Nel seguente lavoro vengono presentate diverse generalizzazioni del teorema di Liouville nell'ambito dell'analisi complessa. Nel primo capitolo, dopo un breve richiamo di alcune nozioni fondamentali, si cerca di dare una caratterizzazione delle funzioni olomorfe mediante diseguaglianze sul loro modulo. Questa caratterizzazione si attua per mezzo di diverse proposizioni e teoremi del tipo Liouville. Nel secondo capitolo il teorema di Liouville viene rivisto in più variabili complesse e tramite questo vengono proposte alcune caratterizzazioni di funzioni olomorfe nello spazio complesso a più dimensioni. Nel terzo capitolo il lavoro effettuato nei primi due capitoli viene riproposto questa volta considerando funzioni armoniche sia nello spazio complesso a n dimensioni che nel piano e spazio reale.
Nell'ultimo capitolo vengono studiate delle generalizzazioni del teorema di Liouville in spazi di Banach e varietà complesse.

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Capitolo 1 Formula integrale e disuguaglianze di Cauchy 1.1 Formula integrale di Cauchy Deflnizione1.1.1. Sia :[a;b]!C un cammino, si deflnisce sostegno del cammino l’insieme: j j=fz2C j z =z(t) t2[a;b]g: (1.1.1) Deflnizione 1.1.2. In C si deflnisce indice di un cammino chiuso rispetto a z 0 , con z 0 non appartenente a , il valore: I(;z 0 )= 1 2…i Z dz z¡z 0 : (1.1.2) I e un numero intero e vale 0 se e un cammino chiuso che non circonda z 0 , mentre vale n se circonda z 0 . Teorema1.1.1. Sia f funzione olomorfa su un dominio ›, sia un cammino chiuso e sia z 0 un punto non appartenente al cammino chiuso allora 1 2…i Z f(z)dz z¡z 0 =I(;z 0 )f(z 0 ): (1.1.3) Dimostrazione. Considero g(z)= ‰ f(z)¡f(z 0 ) z¡z 0 z6=z 0 f 0 (z 0 ) z =z 0 (1.1.4) essendo f olomorfa anche g risulta olomorfa8z6=z 0 e continua in ›. Considero Z f(z) z¡z 0 dz = Z f(z)¡f(z 0 ) z¡z 0 dz+ Z f(z 0 ) z¡z 0 dz (1.1.5) 1

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