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Struttura a termine dei tassi d'interesse: modelli continui.

Lo scopo del presente lavoro è l’illustrazione della metodologia di lavoro e dei concetti di fondo impiegati nell’elaborazione dei modelli matematici (continui rispetto al tempo) comunemente impiegati per la rappresentazione della dinamica della struttura a temine dei tassi d’interesse, attraverso il ricorso ad un bagaglio matematico relativamente “leggero” come quello fornito da un corso di laurea magistrale in Economia. A tal fine si è ritenuto di dividere il lavoro in due parti. Una parte principale, che rappresenta il lavoro espositivo vero e proprio sulla modellistica riguardante i tassi ed una parte complementare, in cui si è cercato di concentrare tutta la teoria di base dei processi stocastici. Da questo punto di vista, più che una semplice appendice, la parte sui processi stocastici è servita per mettere in luce la profondità concettuale e le difficoltà tecniche che sorgono nella messa a punto dei modelli presentati nella prima parte del lavoro. Si tratta di aspetti che spesso sfuggono nella presentazione che di questi modelli danno i testi universitari istituzionali, specie quelli in lingua italiana, nei quali troppo spesso la fretta espositiva dovuta alla necessaria concisione, fa sì che le nozioni fornite sui processi stocastici si fermino a brevi richiami delle definizioni fondamentali, lasciando completamente all’oscuro il lettore (che non abbia un bagaglio specialistico in tal senso) di questioni di primaria importanza come la definizione formale dell’Integrale di Ito e quindi delle motivazioni sulle ragioni per le quali vengono fuori certi risultati.
Passando ora alla descrizione del piano del lavoro, nel Capitolo 1 si richiamano le definizioni classiche riguardanti le leggi di capitalizzazione e di sconto mettendo in rilievo la possibilita’ di rappresentare il processo di accumulazione di capitale attraverso equazioni differenziali. Il capitolo si chiude con la descrizione delle caratteristiche tecniche di quei particolari strumenti finanziari che sono i titoli del debito pubblico e della ragione per la quale essi sono il punto di partenza per la costruzione di tutta la teoria sulla dinamica dei tassi d’interesse.
Nel Capitolo 2 si descrive quello che è il piano di riferimento per la messa a punto di un qualsivoglia modello matematico per la struttura a termine dei tassi, illustrando quindi come venga ricavata la curva per scadenze a partire dall’osservazione delle quotazioni dei titoli del debito pubblico e facendo poi un brevissimo cenno alle spiegazioni addotte dalla teoria economica per spiegarne le fluttuazioni. Il capitolo si chiude con la presentazione della fondamentale “teoria dell’assenza d’arbitraggio” e del Teorema Fondamentale di Valutazione che, come suggerisce il suo nome, rappresenta da anni la pietra miliare su cui si fonda tutta la Finanza Matematica.
Il Capitolo 3 rappresenta il “cuore” di tutta l’opera. In esso vengono analizzate le caratteristiche di fondo comuni a tutti i più noti modelli stocastici utilizzati per la descrizione della dinamica della struttura dei tassi d’interesse , cominciando con una breve tassonomia degli stessi e specificando le ipotesi di base, nonché la strumentazione matematica di base (a cominciare dalla definizione della ragione per la quale si utilizzano i processi di Ito) impiegata nei cosiddetti modelli unifattoriali (sez. 3.3). Nella sezione 3.4 si presenta in maniera formale l’Equazione Fondamentale di Valutazione che, rispondendo alla domanda posta sopra, permette di descrivere teoricamente quello che è il “giusto prezzo” che di un’attività finanziaria in assenza d’opportunità d’arbitraggi. Nel resto del capitolo vengono quindi presentati e analizzati i principali modelli unifattoriali, facendo la fondamentale distinzione tra i modelli lineari affini (che sono sostanzialmente quelli che presentano la migliore trattabilità analitica) di Merton (1973), Vasicek (1976) Cox-Ingersoll-Ross (1985) ed i modelli non affinielaborati daBrennan e Schwartz(1979) e Black e Karasinski (1991). Il capitolo si chiude con una breve discussione sulla stima dei parametri dei modelli presentati e delle principali verifiche empiriche riguardanti i modelli unifattoriali di tipo omogeneo rispetto al tempo.
Nel Capitolo 4 viene infine presentata molto concisamente la classe dei cosidetti “No Arbitrage Models”, la cui formalizzazione distinta dagli altri modelli fattoriali si deve al fondamentale articolo di Heath, Jarrow e Morton (1991). In tale classe rientrano infatti anche modelli antecedenti la pubblicazione del lavoro degli Autori su citati, prima classificati semplicemente come modelli non omogenei rispetto al tempo, quali il modello di Ho e Lee (1986) ed il modello di Hull e White (1990).Completa la prima parte una bibliografia di base sulla letteratura riguardante i principali modelli per i tassi d’interesse. Quando le opere citate sono disponibili on line vi si troverà il corrispondente indirizzo internet.

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15 CAPITOLO 1: DEFINIZIONI FONDAMENTALI Il tema centrale della matematica finanziaria (attuariale) è da sempre quello di definire, attraverso l’impiego di strumenti analitici anche piuttosto sofisticati, l’equivalenza tra importi monetari disponibili, (ovvero esigibili dal punto di vista del creditore) in epoche diverse. In questo capitolo si daranno le definizioni fondamentali relative alla caratterizzazione formale dei principali “regimi di capitalizzazione” e delle loro proprietà analitiche. Alla fine del capitolo si definiranno invece le principali caratteristiche tecniche degli strumenti finanziari obbligazionari, con una particolare attenzione all’approfondimento del concetto di rischio e del modo in cui il mercato tratta tale problematica, dando conto quindi della ragione per la quale nella modellizzazione matematica della dinamica dei tassi d’interesse si faccia in pratica sempre riferimento ai titoli del debito pubblico (il cui emittente cioè è uno Stato Sovrano). 1. 1. Regimi di capitalizzazione e traslabilità Detto M il montante generato dall’impiego di un capitale iniziale, indicato con C, per un certo intervallo di tempo (in genere indicato con t) e fissato un certo tasso d’interesse 1 da un punto di vista strettamente matematico il problema è quello di trovare una funzione continua del tempo tale che:     MtfC t  , (1.1) dove la funzione f sia lineare rispetto a C, ovvero soddisfi alla seguente condizione :       12 1 2 fCCtfCtfCt  ,,, (1.2) 1 Si definisce interesse la differenza IMC   mentre si definisce tasso d’interesse il rapporto   / iMCC  . Si definisce invece tasso di sconto il rapporto   / dMCM 

Tesi di Laurea

Facoltà: Economia

Autore: Antonio Aghilar Contatta »

Composta da 206 pagine.

 

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