Metodi e modelli di evoluzione stocastica

I processi di diffusione sono largamente studiati per descrivere l’evoluzione temporale di sistemi dinamici in molti campi applicativi (biologia, genetica, economia, fisica, teoria dell’affidabilità).
Due esempi verranno presi in considerazione: il primo nell’ambito della neurobiologia e il secondo in quello della biologia molecolare.
Questi modelli si collocano all’interno di un apparato matematico rigoroso che viene costruito nella prima parte dell’elaborato. Una particolare attenzione sarà rivolta alla definizione di integrale stocastico come limite in media quadratica di integrali stocastici di processi semplici. Verranno analizzate le caratteristiche degli integrali di Ito e Stratonovich e messe a confronto le proprietà di cui essi godono. Verrà presentata e dimostrata la formula di Ito considerando degli esempi di sue possibili applicazioni e sarà ricavata formalmente l’equazione differenziale di Chapman-Kolmogorov che governa le densità di probabilità di transizione dei processi stocastici. Quella che viene chiamata “analisi stocastica” verrà presentata attraverso il teorema di esistenza e unicità delle soluzioni delle equazioni differenziali stocastiche e lo studio delle proprietà di cui godono queste soluzioni. Infine verrà sottolineato lo stretto legame che intercorre tra le equazioni di Ito, quelle di Stratonovich e le equazioni di Fokker-Planck.
La seconda parte è dedicata all’analisi dei due particolari modelli biomatematici.
Il primo verterà sulla dinamica di un singolo neurone soggetto a rumore. Ad un’introduzione riguardante la fisiologia e il comportamento del neurone seguirà una breve presentazione dei modelli deterministici e stocastici che negli anni si sono susseguiti con l’intento di descrivere la dinamica neuronale attraverso l’evoluzione temporale del potenziale di membrana. Il capitolo sarà incentrato sull’analisi del lavoro presentato da Buonocore, Caputo e Pirozzi [5] in cui si ricava la densità di sparo di un neurone sottoposto ad uno stimolo periodico e si fornisce un’approssimazione asintotica della distribuzione dei tempi di intersparo.
Il secondo modello proposto descriverà la dinamica della contrazione muscolare attraverso la teoria dello scorrimento dei filamenti di actina e miosina e il confronto tra la teoria del lever-arm e quella dell’accoppiamento debole. Particolare attenzione sarà dedicata all’analisi e commento di un articolo [4] pubblicato nel 2005 in cui si analizza la dinamica della miosina sottoposta ad un carico esterno.
In entrambi i modelli analizzati interviene l’equazione di Langevin che regola l’evoluzione temporale del potenziale di membrana del neurone nel primo caso e del potenziale che genera la forza conservativa agente sulla miosina nel secondo. Nel primo caso si tratta di un problema di tempo di primo passaggio attraverso un potenziale soglia; nel secondo di un problema di uscita da una buca di potenziale. Nella parte finale il secondo modello verrà riguardato in modo da poter essere trattato come un problema di tempo di primo passaggio.