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Lifting e generazione di disuguaglianze per il politopo delle matrici “Consecutive Ones”

Informazioni tesi

  Autore: Francesco Zaccaria
  Tipo: Tesi di Laurea Magistrale
  Anno: 2015-16
  Università: Università degli Studi di Padova
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Luigi De Giovanni
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 139

Lo studio sviluppato in questa tesi muove dall’esigenza di dare una formulazione matematica ad alcuni problemi di sequenziamento ottimale che emergono in diversi ambiti applicativi, quali ad esempio la pianificazione della produzione, l’industria del taglio e la progettazione di circuiti elettronici. In tali situazioni si presenta spesso l’esigenza di trovare una permutazione ottimale di schemi, quali ad esempio ordini di un prodotto, schemi di taglio, porte in un circuito elettronico, al fine di minimizzare un’opportuna funzione obiettivo di costo: tali problemi vengono denominati pattern sequencing problems.
Nel Capitolo 1 prenderemo in considerazione due importanti esempi di problemi di sequenziamento: il Minimization of Open Stacks Problem (MOSP) e il Gate Matrix Layout Problem (GMLP).
I due problemi presentati possono essere modellati in termini di programmazione lineare intera.
In letteratura, si è osservato come la definizione dei problemi possa essere messa in relazione con la proprietà dei pattern di ammettere una permutazione la quale renda consecutivi gli elementi presenti negli schemi. In termini matriciali ciò si traduce nella definizione di matrici binarie che godano della cosiddetta “proprietà degli uni consecutivi” (o siano C1P).
Forniremo nel Capitolo 2 una serie di nozioni di teoria dei grafi: in particolare si introdurrà il concetto di tripla asteroidale di vertici in un grafo. Verranno poi richiamati alcuni risultati di geometria della programmazione lineare, e soprattutto verrà presentato lo strumento principale di questa tesi: la nozione di lifting di una disuguaglianza lineare, valida per un insieme 0-1.
Nel Capitolo 3, sfruttando la caratterizzazione che lega matrici C1P a grafi bipartiti privi di triple asteroidali in uno dei due sottoinsiemi di vertici, si illustrerà un teorema di Tucker per la caratterizzazione strutturale di tali grafi.
Si passerà a studiare la formulazione per il politopo C1P, ottenendo in particolar modo una descrizione tramite disuguaglianze definenti faccette.
In particolare si analizzeranno due procedure le quali generano disuguaglianze cercando di escludere una o molteplici triple asteroidali nel grafo bipartito di partenza.
Nel Capitolo 4 si introduce il primo contributo di questa tesi: si individueranno delle caratteristiche comuni fra le procedure per la definizione di disuguaglianze valide per il
politopo C1P e l’algoritmo di lifting sequenziale. Eseguendo nei dettagli il lifting sequenziale su di un esempio specifico si cercheranno di analizzare le due possibili scelte che determinano le disuguaglianze risultanti dall’algoritmo, ovvero la disuguaglianza che inizializza la sequenza dei lifting, e l’ordine delle variabili secondo il quale eseguire le varie iterazioni.
In seguito al Capitolo 5, che costituisce il principale contributo originale della tesi, si passerà ad analizzare, oltre alla configurazione grafica
di partenza, anche la scelta dell’ordinamento con il quale eseguire la sequenza di lifting sulle variabili della disequazione.
Si giungerà a questo punto al risultato centrale della tesi: si dimostrerà come, sotto opportune condizioni, le procedure note per la formulazione di disuguaglianze valide per
le matrici C1P sono esattamente equivalenti ad un lifting sequenziale.
A tale scopo, si classificheranno in maniera generale tutte le possibili configurazioni di tre cammini che rendono una tripla di nodi colonna asteroidale in un
grafo bipartito, riottenendo fra i casi particolari le generalizzazioni dei minori di Tucker. L’importanza teorica e applicativa di questo risultato risiede nel fatto che, nei casi in cui
una tale identificazione è possibile, le procedure erediteranno le proprietà generali del lifting.
Nel Capitolo 6 si verificheranno i risultati ottenuti per lifting e procedure. Si cercherà di estendere l’applicazione del lifting anche a disuguaglianze iniziali di tipo diverso da
quelle correlate a configurazioni non C1P nella maniera sopra accennata (ad esempio non necessariamente a coefficienti unitari). Lo studio in questo caso utilizzerà sia i risultati
dimostrati nella trattazione riguardo alle proprietà delle disuguaglianze di partenza per il lifting, sia strumenti computazionali come un codice C++ che generi opportune sezioni iniziali ed il software PORTA per lo
studio delle dimensioni delle facce ottenute.
L’estensione trattata al Capitolo 6 fornirà degli spunti per alcuni possibili sviluppi futuri, suggeriti al Capitolo 7.

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Sommario Lo studio sviluppato in questa tesi muove dall’esigenza di dare una for- mulazione matematica ad alcuni problemi di sequenziamento ottimale che emergono in diversi ambiti applicativi, quali ad esempio la piani- ficazione della produzione, l’industria del taglio e la progettazione di circuiti elettronici. In tali situazioni si presenta spesso l’esigenza di tro- vare una permutazione ottimale di schemi, quali ad esempio ordini di un prodotto, schemi di taglio, porte in un circuito elettronico, al fine di minimizzare un’opportuna funzione obiettivo di costo: tali problemi vengono denominati pattern sequencing problems. Nel Capitolo 1 prenderemo in considerazione due importanti esempi di problemi di sequenziamento: il Minimization of Open Stacks Problem (MOSP) e il Gate Matrix Layout Problem (GMLP). Il MOSP emerge nel- l’ambito dell’industria del taglio, nella quale si verifica di dover tagliare dei grandi pannelli di materiale primo (quali legno, vetro, carta) secondo degli schemi (pattern) predefiniti. Una volta eseguito il taglio, i vari pez- zi vengono impilati in pile (stack) che raccolgono tutti gli elementi dello stesso tipo ricavati dai diversi pannelli. Si noti che, una volta stabilita la sequenza di taglio, pezzi dello stesso tipo possono essere presenti in pan- nelli tagliati in momenti diversi. Le pile, per evitare costi di spostamento in magazzino, vengono posizionate nei pressi della zona di taglio fino al termine del processo, o almeno fino a che l’ultimo pezzo dello stesso tipo sia stato ricavato dai pannelli. Spesso lo spazio di lavoro a disposizione risulta limitato, e di conseguenza sorge la necessità di minimizzare, per motivi logistici o di sicurezza, o per evitare possibili danni ai pezzi pro- dotti, il numero di pilesimultaneamente aperte. Oppure, nelcaso incui il numero di pile utilizzabili abbia un limite superiore stabilito a priori dal layout degli stabilimenti, si cerca di scegliere una sequenza di schemi di taglio che minimizzi il tempo totale di presenza delle pile nei pressi delle macchine, cercando di ridurre l’intervallo di tempo definito dai momenti in cui il primo e l’ultimo pezzo di un certo tipo vengono prodotti. Il secondo problema descritto, quello denominato GMLP, è equiva- lente al MOSP e si presenta nella progettazione di circuiti elettronici attraverso la tecnologia VLSI (Very Large Scale Integration), la quale prevede una elevata integrazione di transistor ed altri elementi circuitali all’interno di un singolo chip. In molti casi, la realizzazione di un circuito 1

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Parole chiave

lifting
porta
consecutive-ones matrices
integer linear programming
graph theory
0-1 polytopes
facets
minimization of open stacks problem (mosp)
gate matrix layout problem (gmlp)
pattern sequencing problems

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