Aspetti semantici della logica proposizionale modale

A partire dagli anni trenta si sono sviluppati numerosi studi riguardanti la semantica per la logica modale.
In prima approssimazione, è possibile individuare due differenti approcci a quest’area di studi. Un primo approccio è quello algebrico, che utilizza strutture algebriche interpretando i connettivi modali come operazioni su algebre di Boole.
Storicamente esso fu il primo ad essere sviluppato, attraverso il lavori di McKinsey
e Tarski. In effetti la logica modale è nata (ma forse sarebbe meglio dire “rinata”) come una logica algebrica: si pensi alle prime riflessioni di MacColl in rapporto a quelle di Boole riguardanti la nascita della moderna logica proposizionale. Da un punto di vista meramente cronologico, come nota Goldblatt ([18], p. 11) il primo a parlare di un’interpretazione semantica (per la precisione, topologica) dei famosi assiomi di Lewis fu Tang Tsao-Chen1, fornendo una matrice per il sistema S2 di Lewis.
McKinsey stesso utilizzò in effetti il cosiddetto metodo delle matrici: una formula si dirà soddisfatta dalla matrice se ogni assegnazione di elementi di K alle variabili contenute in ' assegna a ' un valore x ` D. Una matrice è caratteristica (per un sistema) se soddisfa soltanto i teoremi del sistema, falsificando le altre formule. Gli stessi Lewis e Langford fornirono alcune matrici per dimostrare l’inclusione propria dei sistemi S1-S5.
Generalizzando l’idea e considerando un'apposita algebra, McKinsey fu in grado di mostrare che ciò ci dà una matrice caratteristica infinita per il sistema è infinita che può essere considerata un’algebra di Lindembaum della logica modale, i cui elementi designati sono le classi di equivalenza dei teoremi. Al di là delle singole algebre caratteristiche per ciascun sistema, la semantica algebrica gode di una generalità sorprendente, generalità che forse è stata scoperta solo dopo l’avvento delle altre semantiche.
Il secondo approccio, più recente, è la semantica relazionale, che fa uso di strutture
relazionali (spesso chiamate strutture di Kripke, dal nome del loro “creatore”): intuitivamente, si tratta di interpretare gli enunciati in un universo di possibili mondi (o, più neutralmente, punti), legati tra di loro da vari tipi di relazioni. La semantica di Kripke è stata una vera svolta nello studio della logica modale. Peraltro,tale pproccio ha forse oscurato la possibilità di cercare di ottenere qualche risultato modificando gli strumenti classici al caso modale.
Il quarto capitolo, infine, verrà trattata la cosiddetta teoria della corrispondenza, che riguarda la possibilità di “vedere” la logica modale come una parte (un rammento) di logica predicativa, di primo e secondo ordine. Verrà esposto in conclusione il teorema di Van Benthem, che stabilisce le condizioni necessarie e sufficienti perchè una formula modale corrisponda ad una al primo ordine.
Infine, per puro interesse personale, l’appendice, che riporta e commenta la prova dell’esistenza di Dio fornita da Gödel e successivamente studiata da vari autori. Il motivo per cui la riporto nella tesi è semplicemente perchè è possibile utilizzare alcune intuizioni trattate nei precedenti capitoli per fornirne un’analisi che andasse oltre il lato meramente deduttivo (che comunque è riportato); mi è parso quindi interessante proporre questo tentativo di connubio tra logica e teologia.