Metodi Bayesiani per problemi inversi e applicazioni in Matlab all'elaborazione delle immagini

Un problema ben posto è un problema per cui la soluzione esiste, è unica e vi è dipendenza continua della soluzione dai dati. In particolare si dà la seguente definizione:
Definizione 2.1. Un problema che soddisfa i requisiti di esistenza, unicità e continuità è ben posto secondo Hadamard; un problema che non lo è si dice mal posto.

La convinzione di Hadamard che i problemi con riscontri fisici siano ben posti è stata generata dalla fisica. I requisiti di esistenza, unicità e continuità della soluzione sono infatti profondamente inerenti all'idea di un'unica, completa e stabile configurazione degli eventi fisici. Come conseguenza di questo modo di pensare, i problemi mal posti sono stati considerati per molti anni come delle anomalie e non sono mai stati investigati seriamente. La scoperta che una proprietà tipica dei problemi inversi sia quella di essere mal posti (al contrario del loro corrispondente problema diretto che è ben posto) ha però recentemente cambiato questa concezione. In questo contesto particolare, prima di procedere con la ricostruzione delle immagini bisogna:

• definire un dominio X e su di esso definire una distanza (X diventa così uno spazio metrico);

• risolvere il problema diretto, cioè computare per ogni oggetto la corrispondente immagine (che è una ed unica ed ha proprietà di regolarità se il problema è ben posto, e in tal caso si parla di immagine priva di noise, mentre se tali condizioni non sono soddisfatte si parla di immagini con noise);

• definire il codominio Y in modo tale che contenga sia le immagini prive di noise che quelle con noise, e anche su di esso definire una distanza (anche Y diventa così uno spazio metrico).

La soluzione di un problema diretto è quindi data da un operatore A che trasforma ogni oggetto di X in un'immagine senza rumore di Y . Tale operatore è continuo perchè il problema è ben posto. Lo spazio delle immagini prove di noise si chiama range di A e non coincide con Y perchè questo spazio contiene anche le immagini con noise. Si può vedere che i problemi diretti possono essere soggetti a delle perdite di informazioni, che rendono il loro problema inverso mal posto. Infatti, è possibile che due o più oggetti abbiamo la stessa immagine oppure che due oggetti molto distanti abbiano immagini molto vicine tra loro. Le conseguenze per il problema inverso sono che, se si ha un'immagine corrispondente a due diversi oggetti, la soluzione del problema inverso non è unica; inoltre se si ha un'immagine con rumore, che non è nel range di A, la soluzione del problema inverso non esiste. Infine, se si hanno due immagini vicine che corrispondono a due oggetti molto lontani, la soluzione del problema inverso non dipende con continuità dai dati.