Modelli di interazione popolazione sostanze tossiche: analisi qualitativa e controllo ottimo

Nei paragrafi precedenti, attraverso le simulazioni numeriche, sono stati messi in evidenza vari aspetti dei modelli di Hallam e Freedman-Shukla con depurazione. Nelle simulazioni si è osservato che, indipendentemente dallo stato iniziale di equilibrio o di crisi dei sistemi, l’intervento di depurazione è utile a incrementare la presenza della popolazione nell’ecosistema. Nel caso del modello di Freedman-Shukla questo incremento è risultato meno visibile, ciò può essere dovuto alla particolare scelta del set dei valori dei parametri. Introdurre nel funzionale obiettivo il termine di Bolza ha reso l’intervento più incisivo, sia alla fine del trattamento che per la sua intera durata, a scapito però di un maggiore sforzo di depurazione e quindi un maggiore costo.

L’aver studiato il comportamento del modello di Hallam e Freedman-Shukla con depurazione sia in una situazione iniziale di equilibrio che di crisi ha permesso di confrontare lo sforzo di depurazione nei due casi. Nel modello di Hallam con depurazione si ottiene un maggiore sforzo nel caso di equilibrio solo nella fase iniziale del trattamento ed in seguito i due sforzi risulteranno equivalenti. Nel modello di Freedman-Shukla, invece lo sforzo di depurazione compiuto quando il sistema è all’equilibrio è sempre maggiore di quello compiuto nel caso in cui sia in crisi.
Di conseguenza è conveniente, in e più termini di sforzo, agire quando il sistema è in crisi. L’intervento di depurazione applicato al modello di Hallam con interazione tra popolazioni, ha comportato un notevole incremento di entrambe le popolazioni. Tale incremento però è stato maggiore per la popolazione che in assenza di sostanze inquinanti è più forte (ha maggiore capacità portante). Nel caso del modello di Freedman-Shukla l’intervento di depurazione ha effetti meno evidenti per l’andamento delle due popolazioni, risultando tuttavia di maggiore beneficio per la popolazione che in assenza di inquinanti è più forte.

Nel paragrafo finale di questo capitolo sono stati utilizzati gli stessi valori dei parametri in entrambi i modelli (fatta eccezione per i parametri K₀ e K₁ del modello di Freedman-Shukla che non hanno corrispondenti nel modello di Hallam).
Inoltre K₀ è stato scelto in modo che l’andamento asintotico della popolazione in assenza di inquinanti sia lo stesso per entrambi i modelli. Ciò ha reso possibile un confronto tra le soluzioni ottime del modello di Hallam e quello di Freedman-Shukla. E' stato riscontrato che l’intervento di depurazione ha il medesimo effetto sull’incremento della popolazione, e tuttavia un maggiore sforzo è e richiesto nel caso del modello di Freedman-Shukla.