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La Congettura di Vaught per le algebre di Boole e le MV-algebre

Primi risultati dalla congettura di Vaught per le MV-algebre

Esponiamo i risultati ottenuti sulla Congettura di Vaught nel caso delle MV-algebre. Precisamente consideriamo prima le MV-algebre che non sono finitamente valutate e poi la classe delle MV-algebre rimanenti. Lo studio di quest’ultime si riconduce allo studio di famiglie di insiemi costituite da algebre Booleane e dai loro ideali. Questa semplificazione però richiede la conoscenza di alcuni concetti fondamentali di Algebra Universale e di Teoria delle Categorie, e per questo motivo introduciamo le varietà e le categorie.

Il seguente teorema esprime che una classe abbastanza grande di teorie di MV-algebre ha il massimo numero possibile di modelli contabili e non isomorfi.
Teorema 5.1.1.
Sia A una MV-algebra. Se assumiamo che per ogni n ∈ N, esiste an ∈ A con nan ≠ (n + 1)an, allora la teoria di A ha 2ω modelli contabili e non isomorfi.

Dimostrazione.
Denotiamo con Th(A) la teoria del primo ordine di A. Siano r un numero reale compreso tra 0 e 1, e c e d due simboli di costante. Consideriamo la nuova teoria Thr(A) che si ottiene aggiungendo agli assiomi di Th(A) tutte le disuguaglianze md < nc, dove m e n sono interi tali che 0 ≤ m < n e m/n < r, e tutte le diseguaglianze md > nc, dove m e n sono interi tali che 0 ≤ m < n e m/n > r.

Thr(A) è finitamente soddisfacibile, se si interpretano c e d come opportuni multipli di ak, per k sufficientemente grande. Allora per il teorema di compattezza Thr(A) ha almeno un modello e per il teorema di Löwenheim-Skolem ha un modello contabile che chiamiamo Mr. Ovviamente Mr è anche un modello di Th(A), ∀r ∈ [0, 1].

Possiamo quindi affermare che esistono 2ω modelli di Th(A) contabili. Questo segue dal fatto che ogni coppia (c, d) in un modello può soddisfare Thr(A) solo per un valore di r, e i possibili valori di r sono 2ω.

Questo brano è tratto dalla tesi:

La Congettura di Vaught per le algebre di Boole e le MV-algebre

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Informazioni tesi

  Autore: Stefania Boffa
  Tipo: Tesi di Laurea Magistrale
  Anno: 2011-12
  Università: Università degli Studi di Salerno
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Antonio Di Nola
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 77

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