La prezzatura delle opzioni asiatiche nei mercati di Lèvy

Nel 1973 Fisher Black e Myron Scholes pubblicarono sul Journal of Political Economy lo storico articolo "The pricing of options and corporate liabilities". Questo articolo diede la luce al famoso modello di Black & Scholes, certamente il più importante e diffuso nell'ambito del pricing degli strumenti derivati.
Il modello ha avuto un'enorme influenza sul modo in cui gli operatori valutano le opzioni ed effettuano le coperture. Con esso, per la prima volta, veniva derivata una formula analitica (la cosiddetta formula di Black & Scholes, soluzione dell'equazione differenziale di Black and Scholes) per calcolare il valore di un'opzione plain vanilla.
Il modello rappresenta, tuttavia, una solida base di partenza per lo sviluppo di modelli di prezzatura di altri tipi di opzioni, tra cui le americane e le asiatiche.
Dopo quasi quarant'anni dalla pubblicazione di quel famoso articolo, la formula di Black and Scholes viene ancora oggi attivamente utilizzata dagli operatori finanziari, nonostante alcuni suoi evidenti limiti.

L'argomentazione di Black and Scholes per il calcolo del prezzo di un'opzione europea si basa su una serie di presupposti, quali:
- Il prezzo del sottostante, S_t, segue un moto Browniano geometrico;
- Il mercato di riferimento è aperto con continuità. Ciò significa che i titoli vengono continuamente negoziati;
- L'azione non paga dividendi durante la vita del derivato;
- Le vendite allo scoperto sono consentite e non esistono restrizioni all'utilizzo dei relativi proventi;
- Non esistono costi di transazione o tasse. I titoli sono perfettamente divisibili;
- Non esistono opportunità di arbitraggio prive di rischio. Ciò significa che non vi è nessuna possibilità di effettuare un guadagno senza che si prenda una posizione rischiosa;
- Il tasso d'interesse a breve privo di rischio, r , è uguale per tutte le scadenze.

L'equazione differenziale stocastica di Black and Scholes è una equazione che deve essere soddisfatta dal prezzo di ogni derivato che dipende dal prezzo di un titolo azionario che non paga dividendi. Il modello implica la formazione di un portafoglio privo di rischio contenente opzioni e azioni.
Il motivo per il quale è possibile formare un portafoglio privo di rischio dipende dal fatto che il prezzo dell'azione e il prezzo dell'opzione sono entrambi influenzati dalla stessa fonte di incertezza: le variazioni del prezzo dell'azione. In ogni breve intervallo di tempo, il prezzo di una opzione call è perfettamente correlato, in modo positivo, con il prezzo del titolo sottostante e il prezzo di una opzione put è perfettamente correlato, in modo negativo, con il prezzo del titolo sottostante.
In entrambi i casi, ovvero qualunque sia il tipo di opzione sottoscritto, quando si forma un appropriato portafoglio di azioni e opzioni, il profitto o la perdita sulla posizione in titoli viene sempre compensato dalla perdita o dal profitto sulla posizione in opzioni, cosicché il valore complessivo del portafoglio alla fine del breve periodo di tempo risulta sempre noto con certezza. È importante sottolineare che il portafoglio che si forma è privo di rischio solo per un breve periodo di tempo. Per restare privo di rischio deve essere aggiustato o ribilanciato spesso. [...]