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Valutazione di un'opzione call europea scritta su processi a salti

Presentazione del modello finanziario di diffusione con salti non browniani di Merton - Introduzione dei preliminari

Robert C. Merton nel suo lavoro del 1976 intitolato “Option pricing when underlying stock returns are discontinous” estende il modello originario di Black & Scholes al caso in cui nella dinamica del prezzo S(t) dell’ azione sottostante ad un’opzione call europea (detta per brevità “eurocall” e della quale è riportata la definizione nel Riassunto Introduttivo all’inizio della tesi), con scadenza naturale T e prezzo di esercizio K, oltre alla componente di moto browniano geometrico sia presente una nuova componente stocastica che rappresenta variazioni del prezzo finite, immediate, distribuite nel tempo secondo un processo di Poisson, non browniane e asistematiche (cioè scorrelate dal resto del mercato), che chiameremo salti o “jump”. Ad eccezione della continuità delle traiettorie storiche del prezzo dell’azione, sono mantenute inizialmente tutte le ipotesi preliminari stabilite da Black e da Scholes:
1. assenza di frizioni nel mercato che significa nessun costo di transazione e tassa sui profitti,
l’attività commerciale avviene continuativamente nel tempo, indebitamento e vendite allo scoperto sono consentiti senza restrizioni, il denaro viene dato e chiesto in prestito al medesimo tasso;
2. il tasso di interesse a breve termine r è noto e costante col trascorrere del tempo;
3. la società emittente le azioni non paga dividendi o simili.
Ma ad un certo punto dello sviluppo del modello, appare evidente la sua incompletezza, proprio a causa dell’esistenza dei salti casuali non browniani del sottostante: ciò impedisce di imitare la replica perfettamente non rischiosa di Black e di Scholes sul derivato.
Verosimilmente Merton ha concepito l’idea di questa estensione del modello B&S in seguito all’osservazione nelle serie storiche delle azioni di discontinuità “straordinarie” che interrompevano periodi di attività browniana, generalmente in corrispondenza di “annunci” o “avvenimenti” di origine esterna al mondo finanziario e concernenti nello specifico la società emittente o il suo settore industriale di appartenenza, e che apparentemente non mostravano nessuna correlazione con i titoli di altri settori. Da qui l’idea di sovrapporre al moto browniano, che è il canone di modellizzazione di una dinamica stocastica continua, un processo di Poisson composto, che è il paradigma di descrizione per una dinamica stocastica a salti.
Purtroppo dal confronto con i dati reali disponibili emerge lo scarso potere predittivo di questo modello, a dispetto della semplice e brillante ispirazione originaria. Rimane l’importanza storica del tentativo; inoltre l’imponente e sofisticata costruzione matematica realizzata attorno alla diffusione con discontinuità non browniane, inutile per la valutazione di un derivato, potrebbe trovare altre applicazioni nell’economia quantitativa non finanziaria piuttosto che in qualche ambito delle scienze fondamentali o di quelle applicate.
Relativamente all’intervallo di tempo infinitesimo dt, siano a la costante di ritorno atteso istantaneo totale sul prezzo, s la costante di volatilità (il cui quadrato è la varianza istantanea del ritorno su S(t) condizionata al fatto che in dt non ci siano variazioni non browniane), dq il processo stocastico di variazione finita non browniana di S(t) e dW = dW(t) =W(t + dt)-W(t) il differenziale di un processo di Wiener W(t) stocasticamente indipendente da dq.

Questo brano è tratto dalla tesi:

Valutazione di un'opzione call europea scritta su processi a salti

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Informazioni tesi

  Autore: Danilo Enrico Paolo Aringhieri
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 2008-09
  Università: Università degli Studi del Piemonte Orientale A.Avogadro
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Fisica
  Relatore: Enrico Scalas
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 104

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