Geometria degli origami

In questo paragrafo cercheremo di dimostrare che la geometria euclidea è in qualche modo equivalente alla geometria degli origami: per fare ciò mostreremo prima che ciascuno dei risultati euclidei precedentemente enunciati può essere ricavato utilizzando gli assiomi (O1)-(O5), e poi proveremo il viceversa; in più, mostreremo la maggiore efficacia degli origami rispetto alle costruzioni euclidee, grazie alla procedura (O6). Consideriamo in primo luogo quello tra i postulati di Euclide che ha un preciso corrispettivo negli assiomi della geometria degli origami; questo è il postulato I, che è del tutto identico a (O1), ovviamente tenendo presente l’identità tra retta e piega. Possiamo inoltre riscontrare la stessa identità tra il primo risultato euclideo riportato in 1.2, che afferma che date due rette non parallele, esiste un unico punto di intersezione tra le due, e la descrizione dell’ente non più primitivo della geometria degli origami, il punto, che viene definito come l’intersezione di due pieghe. Il postulato II è il trasporto di un segmento dato, costruzione che equivale alla procedura effettuata con riga e compasso (esposta nel paragrafo 1.3), e altrettanto immediata se eseguita con le pieghe. Infatti, siano AB un segmento e M un punto fissati; sovrapponendo il punto A al punto M, tale piega porterà il punto B in un certo B ' ; è immediato che AB è congruente ad MB ' . Il postulato III, invece, stabilisce l’esistenza di un cerchio. Nella geometria degli origami che stiamo considerando non è possibile costruire un cerchio; tuttavia, possiamo considerare ben determinato un cerchio C di cui conosciamo il centro M e il relativo raggio r: infatti, una volta dati questi due elementi, possiamo individuare non solo ciascun punto della circonferenza, ma anche le relative tangenti utilizzando il seguente procedimento. Supponiamo che il centro M del cerchio sia distinto dal segmento AB, la cui lunghezza definisce il raggio r; dobbiamo quindi, in primo luogo, trasportare tale lunghezza in modo che il nuovo segmento abbia il punto M come uno dei suoi estremi.