La Congettura di Keplero

Il difficile nella dimostrazione della congettura di Keplero risiedeva nel provare la sua validità anche per le disposizioni irregolari. Infatti ci sono configurazioni irregolari più dense del reticolo fcc su un volume abbastanza piccolo, ma ad ogni tentativo di espandere queste disposizioni a riempire un volume più grande la loro densità viene sempre ridotta. E abbastanza evidente che se vogliamo posizionare 5 sfere nel modo più efficiente possibile ne metteremo 3 a formare un triangolo e le altre due negli spazi fra le prime 3; ma a questo punto se cerchiamo di disporre una sesta sfera seguendo questa regola, la configurazione che si ottiene è inconsistente con qualunque disposizione regolare.
Questo comporta la possibilità di un impacchettamento casuale che sia stabile contro la compressione. Infatti, quando le sfere vengono aggiunte casualmente in un contenitore e poi compresse, formeranno quello che si chiama impacchettamento irregolare quando non potranno essere compresse ulteriormente. Queste configurazioni irregolari generalmente hanno una densità del 64% circa. Recenti scoperte predicono analiticamente che non si può superare una densità limite del 63; 4%.
Questa situazione non vale nel caso di una o due dimensioni, dove la compressione porterà ad una disposizione regolare. Il passo successivo verso una soluzione fu compiuto da un matematico ungherese: László Fejes Tóth.
Egli mostrò che il problema di determinare la massima densità di ogni tipo di disposizione (regolare e non) poteva essere ridotto all'analisi di un numero finito, sebbene grande, di casi. Nel frattempo furono fatti numerosi tentativi per cercare un limite superiore alla massima densità possibile.