Decidibilitá e Indecidibilitá nelle Teorie Elementari. Metodi di Risoluzione Automatica.

Questa tesi propone una analisi di come il calcolo del primo ordine, in sé completo ma indecidibile, possa esprimere teorie del primo ordine le quali a loro volta possono essere complete o incomplete, decidibili o indecidibili. Il calcolo dei predicati è una forma di notazione convenzionale estremamente generale che non ha limiti teorici nell'espressione di teorie. Per alcune di queste teorie esiste una dimostrazione di completezza e decidibilità. Ciò è possibile anche se il calcolo dei predicati è completo ma indecidibile. Per spiegare questo fatto è necessario chiarire che il "potere espressivo" del calcolo dei predicati del primo ordine è limitato, e ciò in base a tutta una serie di teoremi fondamentali, che vengono qui esaminati ed esposti.

Da tale esame si deduce che la non categoricità e l'indecidibilità del calcolo dei predicati del primo ordine, fanno sì che esso possa esprimere completamente soltanto l'aspetto deduttivo, dimostrativo delle teorie matematiche elementari. L'assiomatizzazione e la costituzione del calcolo in un sistema deduttivo completo, estremamente generale, non fornisce però alcun algoritmo applicativo universale, per determinare, a priori, se un qualunque teorema matematico è vero oppure no.

Nella prima parte di questa tesi si espongono i risultati più importanti degli studi classici intorno al problema dell'indecidibilità. I primi due capitoli riguardano i metodi e le dimostrazioni che permettono di determinare la decidibilità e l'indecidibilità delle teorie. Nel terzo capitolo si illustra la teoria della computabilità. Gli studi e le ricerche sulla computabilità si svilupparono in seguito alle dimostrazioni di indecidibilità del calcolo e dell'incompletezza dell'aritmetica, come un tentativo di precisare il concetto di algoritmo. Si costituì così una teoria che è un importante strumento di analisi di concetti fondamentali, anche sotto il profilo dell'odierna scienza di elaborazione e computazione delle informazioni. Nel quarto capitolo si espone una dimostrazione che delimita e riduce esattamente l'indecidibilità del calcolo a un ristretto
numero di quantificatori. Tale dimostrazione è conclusiva rispetto a tutta un'area di ricerca e classificazione di formule decidibili del calcolo.

Nella seconda parte della tesi si parla della risoluzione delle formule, e della deduzione automatica con l'ausilio degli elaboratori mettendo in luce l'importanza della completezza dimostrativa del calcolo. L'indecidibilità del calcolo dei predicati può anche essere definita come segue: non è possibile creare un programma che ci dica se una formula qualunque del calcolo dei predicati è vera oppure no. Un programma è infatti sinonimo di algoritmo, e dalla sua definizione si ottiene un equivalente di funzione
computabile. E' però possibile creare un programma che dica se una formula qualunque del calcolo è vera, anche se non cesserà mai di
calcolare nel caso in cui la formula sia falsa. Oppure si possono creare programmi che terminano, sicuramente, e ci dicono per alcune formule se esse sono valide oppure no, ma che non possono però decidere la validità di altre formule.

Nella creazione di questi programmi si utilizzano le procedure di risoluzione delle formule. Lo sviluppo di tali metodi parte
dalle dimostrazioni di Herbrand e di Skolem. In base ad esse è possibile ridurre le formule del calcolo dei predicati a formule
proposizionali, anche se al prezzo della generazione di successioni infinite di enunciati. Non abbiamo una procedura effettiva per determinare se una formula predicativa è valida oppure no, abbiamo però una procedura effettiva per elencare le formule predicative valide. Nel quinto capitolo si espongono una dimostrazione del teorema di Herbrand e la conseguente struttura interpretativa detta
"universo di Herbrand". Su questa struttura si fondano i metodi di risoluzione, che vengono esposti nel sesto capitolo, e della
programmazione logica, di cui si parla invece nell'ultimo capitolo. Lo sviluppo di questa seconda parte della tesi illustra risultati che appartengono all'area della cosiddetta Deduzione Automatica. L'ultima parte di questa tesi fornisce oltre ad una introduzione al linguaggio PROLOG anche una breve illustrazione del dimostratore automatico PTTP, che si configura come una estensione del linguaggio prolog al calcolo dei predicati completo.