Stima della volatilità per processi di diffusione

1 Il ruolo dei processi di diffusione e della stima In questa tesi ho voluto analizzare il problema della stima della volatilità per i processi di diffusione. L'importanza della questione risiede nel fatto che tali processi stocastici vengono sempre di più impiegati come modello matematico di fenomeni economici e finanziari. È sufficiente ricordare che uno degli ultimi Premi Nobel per l'economia è stato assegnato per studi e analisi sulla corretta determinazione del prezzo equo delle opzioni, mediante un modello che coinvolge un processo di diffusione. Uno dei momenti più importanti nella costruzione di un modello matematico per fenomeni reali è rappresentato dalla determinazione dei coefficienti incogniti del sistema (di qualsiasi natura essi siano): il procedimento quasi sempre parte dalla serie storica delle osservazioni, per giungere attraverso una stima ai valori dei coefficienti che meglio si adattano all'evoluzione passata del fenomeno. Non è però detto che essi siano anche i migliori per la previsione del comportamento futuro del sistema, ma restano quando di meglio si può ipotizzare, sulla base delle osservazioni passate, per predire il futuro. È chiaro che improvvisi e non prevedibili eventi inficiano la capacità predittiva del modello. Qualsiasi modellizzazione della realtà non può fare a meno di confrontarsi con la presenza di perturbazioni apparentemente casuali che richiederebbero l'inserimento di una quantità così elevata di variabili, da rendere pressoché impossibile l'utilizzo del modello stesso. Proprio per questo motivo si fa ricorso a modelli stocastici, nei quali tutte queste perturbazioni (presenti, ma sostanzialmente inutili ai fini esplicativi se prese singolarmente) vengono imputate a una fonte casuale: tale fonte non è però completamente casuale, ma dipendente da alcuni coefficienti, di cui si può studiare il comportamento. Un po' come è avvenuto nelle scienze fisiche dove, accanto a impostazioni di tipo completamente deterministico, come la meccanica classica, esistono studi in cui la componente probabilistica è divenuta quella prioritaria. Nel caso dei processi di diffusione i coefficienti incogniti rientrano in due categorie: • il coefficiente di deriva determina la direzione del movimento: una sorta di bussola che indica in ogni momento velocità e direzione del moto. Per un sistema di variabili finanziarie si può immaginare una tendenza al rialzo o al ribasso di diversa intensità per le differenti componenti; • il coefficiente di diffusione rappresenta invece l'influsso del caso: maggiore è il valore della diffusione, più alto sarà lo scarto tra la direzione effettiva e quella teorica (indicata dalla deriva).