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Il concetto di infinito nella teoria assiomatica degli insiemi

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5 tutto deve essere maggiore della parte (quarto paragrafo). Soltanto nella seconda metà del XIX secolo i matematici Dedekind e Cantor, fondando la teoria degli insiemi e servendosi della nozione di equipotenza per “contare” gli elementi di un insieme arbitrario (finito o infinito), distinsero fra i concetti di “identità” e di “uguaglianza” e compresero come l’“assurdità” emersa nei paradossi secondo cui un insieme infinito ha tanti elementi quanti una sua parte propria fosse in realtà una nuova definizione (non contraddittoria per quanto controintuitiva) di infinito, equivalente a quella precedente ma che consentiva un approccio filosofico totalmente diverso, ribaltando una concezione millenaria: l’infinito può essere concepito in atto anche in matematica, acquista una valenza positiva, mentre il finito è ora definito in maniera negativa come “non-infinito” (quinto paragrafo). L’“errore” nei paradossi sta solo nel pensare che ciò che vale per il finito (come l’assioma euclideo) debba verificarsi anche nell’infinito. 1.1 La definizione in negativo di infinito. Infinito in potenza e in atto. L’idea intuitiva di infinito è quella di mera negazione del finito, come rivela l’etimologia del termine (dal latino in + finitus). Un insieme di oggetti è finito se ha esattamente n elementi per qualche numero naturale n, cioè gli elementi dell’insieme possono essere contati uno a uno e tale processo ha termine 1 . Un insieme infinito è un insieme non finito, per cui non esiste un numero naturale uguale al numero degli elementi dell’insieme. Se pure si prova a contare il numero degli elementi dell’insieme, il processo non avrà fine (ammesso che l’enumerazione portata avanti indefinitamente possa ricoprire tutti gli elementi: vedremo che anche questo è problematico): potremo contarne un numero finito arbitrariamente grande senza mai raggiungere un limite al di là del quale non ci siano altri elementi che non abbiamo ancora contato. In altre parole, dato un 1 Contare gli elementi di un insieme significa associare a ciascun elemento dell’insieme uno e uno solo numero naturale, in ordine crescente partendo da 0, senza salti (se un elemento è associato a 3 e un altro a 5, allora deve esserci anche un elemento associato a 4) e senza ripetizioni (due elementi distinti non possono essere associati allo stesso numero). Se l’insieme è finito, il numero naturale più uno associato all’ultimo di questi elementi rappresenta il numero degli elementi dell’insieme.
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Il concetto di infinito nella teoria assiomatica degli insiemi

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Informazioni tesi

  Autore: Giulio Guerrieri
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 2005-06
  Università: Università degli Studi Roma Tre
  Facoltà: Lettere e Filosofia
  Corso: Filosofia
  Relatore: LorenzoTortora de Falco
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 68

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