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Il concetto di infinito nella teoria assiomatica degli insiemi

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6 qualsiasi numero naturale n, in un insieme infinito è sempre possibile raccogliere un numero finito di elementi maggiore di n, ad esempio n+1; e poi, dati n+1 elementi, se ne può sempre aggiungere un altro, e così via. I numeri naturali possono essere definiti per induzione in questa maniera: 0 = Ø (l’insieme vuoto, ossia privo di elementi), n + 1 = {0,1,…,n} (l’insieme dei suoi predecessori), per cui ogni numero naturale m possiede esattamente m elementi. Due insiemi si dicono equipotenti se sono in corrispondenza biunivoca 2 : a ogni elemento del primo insieme corrisponde uno e uno solo elemento del secondo insieme e viceversa: nel primo insieme ci sono tanti elementi quanti nel secondo. Intuitivamente, almeno nel caso finito (vedremo in seguito come si può estendere la nozione di numero di elementi di un insieme al caso infinito), due insiemi equipotenti hanno lo stesso numero di elementi. In altre parole, contare gli elementi di un insieme finito significa trovare un numero naturale equipotente all’insieme. Si possono quindi riformulare le definizioni intuitive di prima in questo modo: un insieme è finito se esiste un numero naturale equipotente a esso (cioè pari al numero dei suoi elementi), mentre un insieme è infinito se nessun numero naturale è equipotente a esso (cioè se nessun numero intero è uguale al numero degli elementi dell’insieme) 3 . Definire l’infinito a partire dal finito, appunto come la negazione del finito, ha due conseguenze implicite: 1) L’infinito è di un unico tipo, di un solo “ordine di grandezza”, in quanto è caratterizzato dal semplice essere “non-finito”, dal non essere equipotente ad alcun numero naturale, che di fatto porta a identificarlo con il limite della successione dei numeri finiti. Ciò fa passare in secondo piano il fatto che ci possano essere ulteriori distinzioni all’interno dell’infinito, ossia diversi gradi di “non-finito”. 2) Il finito rappresenta il positivo, il “costruttivo”: l’idea è quella di esibire un numero naturale uguale al numero dei suoi elementi che sono già tutti dati, 2 Una funzione biiettiva (o invertibile) f da un insieme M a un insieme N è una funzione iniettiva (f(m) = f(n) in N implica m = n in M) e suriettiva (per ogni n ∈ N esiste un m ∈ M tale che n = f(m)). Si dice che una tale funzione f è una corrispondenza biunivoca fra M e N: a ogni m ∈ M corrisponde tramite f un unico n ∈ N e viceversa, a ogni n ∈ N corrisponde tramite f -1 (la funzione inversa di f) un unico m ∈ M. 3 In formule: un insieme x è finito se ∃ n (n∈N ∧ x ~ n), è infinito se ∀n (n∈N → ¬(x ~ n)).
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Informazioni tesi

  Autore: Giulio Guerrieri
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 2005-06
  Università: Università degli Studi Roma Tre
  Facoltà: Lettere e Filosofia
  Corso: Filosofia
  Relatore: Lorenzo Tortora de Falco
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 68

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