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Analisi e risoluzione numerica di un problema inverso di conduttività elettrica

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2.2 – Modellizzazione conoscendo la conduttivita` su tutto il dominio e le correnti iniettate. In questo para- grafo vedremo come sia possibile costruire un modello matematico del nostro sistema fisico e nel capitolo 3 potremo anche verificare la bonta` del nostro modello perche´ si possono costruire casi particolari in cui risulta facile confrontare la predizione fatta dal modello con i risultati teorici. Per prima cosa occorre definire le grandezze coinvolte. Sulla superficie ∂Ω del nostro corpo Ω ⊂ R3 di conduttivita` σ = σ(x,y,z) dobbiamo iniettare delle correnti attraverso n elettrodi posti sulla superficie del solido e calcolare i potenziali agli stessi elettrodi. Identifichiamo gli elettrodi con la porzione di superficie a cui sono affacciati. Li indicheremo quindi come ei ⊂ ∂Ω, 1 ≤ i ≤ n. Avremo quindi un vettore I = (I1,I2,....,In), dove Ii rappresenta la corrente iniettata al i-esimo elettro- do, e un vettore U = (U1,U2,....,Un), dove Ui rappresenta il valore del potenziale nel i-esimo elettrodo. U sara` identificato a meno di una costante che possiamo eliminare facilmente, per esempio scegliendo a priori un nodo di terra a potenziale nullo. E´ importante osservare che il nostro problema risulta statico, cioe` tutte le gran- dezze considerate non dipendono dal tempo, in quanto le correnti iniettate sono correnti continue e le misure che facciamo non sono legate agli effetti transitori ma sono effettuate dopo il raggiungimento dell’equilibrio. Nella tomografia elettrica vengono spesso considerate delle correnti sinusoidali a frequenza fissa. In questi casi basta usare al posto delle grandezze reali, le relative grandezze complesse. Sappiamo da dati sperimentali che la relazione che lega U e I e` di tipo lineare. Possiamo quindi scriverla come U = RI (2.1) dove R ∈ Rn×n e` la matrice simmetrica delle resistenze che dipende quindi da σ. Torneremo piu` avanti sull’importanza e sulle conseguenze della linearita` del problema diretto. Per definire il nostro modello potremmo partire dalle equazioni di Maxwell ma per semplicita` possiamo trascurare gli effetti del campo magnetico perche´ lavoria- mo con correnti continue. Possiamo supporre inoltre che il campo elettrico sia 11
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Analisi e risoluzione numerica di un problema inverso di conduttività elettrica

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Informazioni tesi

  Autore: Matteo Icardi
  Tipo: Laurea liv.I
  Anno: 2005-06
  Università: Politecnico di Torino
  Facoltà: Ingegneria
  Corso: Scienze matematiche
  Relatore: Giovanni Monegato
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 74

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minimizzazione
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