M. de Benedetti
10
• risultati e vantaggi.
1.1 Utilità e scopi dello studio
Molte strutture aerospaziali sono realizzate con parete sottile. Il
problema delle vibrazioni strutturali ha effetti gravosi per il rendimento di
alcuni sottosistemi (ad es. per acquisizione dati), è quindi sempre più sentita
l’esigenza di disporre di un sistema attivo che consenta di controllarle,
riducendone l’ampiezza in un campo di frequenze noto.
La necessità non è tanto quella di condurre un’analisi "puntuale"
all’interno del piezoelettrico, quanto quella di controllare il comportamento
dinamico globale di una struttura "intelligente". In particolare, è stata
ravvisata la necessità di un modello per quanto possibile semplice, per
determinare la risposta dinamica, nel dominio del tempo, di una struttura
provvista di elementi attivi ad essa collegati.
Il modello a parametri concentrati non fornisce il campo degli sforzi e
delle deformazioni all’interno del singolo elemento piezoelettrico, ma rende
più rapida, efficiente e versatile l’analisi numerica dell’insieme struttura e
piezoelettrico, specialmente nel caso dinamico.
L’utilità ed il fine di questo studio sono quelli di ottenere una procedura
analitico/numerica con applicabilità il più possibile generale, per
modellizzare e posizionare elementi piezoelettrici su una struttura vibrante,
fornendo loro la legge di controllo.
1.2 Mezzi e metodi di ricerca
L’approccio al metodo di studio è stato suddiviso in tre parti: analisi
teorica, numerica e sperimentale.
Modellizzazione ed Impiego dei Materiali Piezoelettrici per lo Smorzamento delle Vibrazioni Strutturali.
Sommario
11
1.2.1 Analisi teorica: approccio concettuale e trattazione analitica.
In una prima fase sono state effettuate ricerche volte all’impostazione
teorica del problema di modellizzare il legame costitutivo accoppiato
elettrico - strutturale dei materiali piezoelettrici.
Lo svolgimento dell’attività di ricerca teorica è basato sui seguenti punti:
• Ricerca bibliografica : individuazione dello "stato dell’arte",
catalogazione dei lavori precedenti e dei modelli esistenti e comprensione
dei limiti di applicabilità dei vari metodi.
• Formulazione di diversi tipi di modelli per la relazione costitutiva del
materiale piezoelettrico, a costanti distribuite o concentrate, nei casi statico
e dinamico, mono e bidimensionale.
• Criteri per la classificazione e per la scelta dei materiali piezoelettrici e
delle strutture intelligenti.
È stato sviluppato un modello del legame costitutivo piezoelettrico sotto
forma di un modello a parametri concentrati. Nel caso statico si tratta di un
sistema di equazioni algebriche lineari. Nel caso dinamico è stato ottenuto
un sistema differenziale del quarto ordine rispetto alla variabile indipendente
tempo. Si tratta di un modello monodimensionale del tipo "pin-force",
basato sulle teorie di Santini[14], Crawley et al. [15], e Strambi et al. [34], in
base alle quali sono state modellizzate le equazioni costitutive, in modo tale
da poter riprodurre sia l’effetto inverso che l’effetto diretto. Le ipotesi fatte
nel modello del piezoelettrico sono:
• unidimensionale (nel quale forze e spostamenti sono applicati ed
esplicati lungo una sola direzione);
M. de Benedetti
12
• a caratteristiche elettriche e meccaniche costanti nello spazio e nel
tempo (il modello matematico è rappresentato da un sistema di equazioni
differenziali ordinarie, a coefficienti costanti).
È stata condotta l’analisi di stabilità, con la determinazione della
condizione che assicura la stabilità asintotica del modello.
1.2.2 Analisi numerica e studio agli elementi finiti.
Per quanto riguarda la modellizzazione numerica, sono stati seguiti i passi
di seguito descritti:
• Modello del solo elemento attivo piezoelettrico (monodimensionale);
• Modellizzazione del piezoelettrico connesso ad una struttura
monodimensionale (asta e trave);
• Modello del piezoelettrico "a due dimensioni"
• Modellizzazione del piezoelettrico connesso ad una struttura
bidimensionale (membrana e piastra);
• Posizionamento ottimo su una struttura bidimensionale ;
• Modello completo di applicazione reale su una parte della struttura di
un satellite.
1.2.2.1 Modello della relazione costitutiva del solo elemento attivo piezoelettrico.
È stata effettuata la modellizzazione numerica del legame costitutivo
piezoelettrico precedentemente determinato durante lo studio teorico. Tale
modello può essere implementato in un codice ad elementi finiti. È stata
modellizzata anche l’azione del controllo, le leggi di amplificazione, di
saturazione e di distorsione del sistema attivo (sensore ed attuatore) che
sono state aggiunte al modello del piezoelettrico nel modello ad elementi
finiti.
Modellizzazione ed Impiego dei Materiali Piezoelettrici per lo Smorzamento delle Vibrazioni Strutturali.
Sommario
13
1.2.2.2 Modello del piezoelettrico su applicazioni monodimensionali
Sono state effettuate applicazioni numeriche su strutture continue
monodimensionali di tipo asta e trave. In alcuni casi è stata condotta una
verifica analitica tramite soluzione in forma chiusa, e viene proposto un
confronto con i risultati ottenuti numericamente.
Le applicazioni numeriche sono state condotte con 1 o più piezoelettrici,
sia nel caso statico che dinamico, con comportamento strutturale assiale o
flessionale, con controllo a catena aperta o chiusa, agente sulla grandezza
forza (effetto diretto) oppure voltaggio (effetto inverso). I risultati vengono
proposti sia in forma grafica, con l’andamento rispetto al tempo della
grandezza misurata, sia in forma di tabella, indicando il decremento
logaritmico ottenuto durante il tempo di analisi.
1.2.2.3 Modello del piezoelettrico "a due dimensioni"
La modellizzazione del piezoelettrico monodimensionale è stata
ampliata, ottenendo il modello del piezoelettrico "a due dimensioni".
Il modello analizzato nel caso monodimensionale è stato replicato lungo
due assi ortogonali, ottenendo un modello "a due dimensioni", al fine di
simulare l’effetto di una piastrina di materiale piezoelettrico incollata su una
piastra vibrante.
1.2.2.4 Applicazioni bidimensionali
Sono state condotte applicazioni numeriche su piastre e gusci, nel caso
statico e nel caso dinamico, con comportamento strutturale a membrana o
flessionale, con controllo a catena aperta o chiusa, agente sulla forza oppure
sul voltaggio, con una o più coppie attive colocate.
1.2.2.5 Posizionamento e controllo ottimo
La ricerca del posizionamento ottimo di piezoelettrici su una struttura
data è stata condotta attraverso un algoritmo di ottimizzazione. È stato
ipotizzato ed analizzato il funzionale obiettivo dell’algoritmo per il
M. de Benedetti
14
posizionamento di un piezoelettrico, con la valutazione delle esigenze di
controllo a banda larga ed a banda stretta, o di controlli selettivi.
Sono stati esaminati i numerosi studi effettuati:
• al fine di posizionare i materiali piezoelettrici in applicazioni statiche
(Ehlers et al. [57], Song et al. [58], Lazarus et al. [59], Lin et al. [60]);
• in analisi dinamiche (Lazarus et al. [61] [63], Egg et al. [62], Crawley et
al. [51], Nam et al. [64], e Moses [65]);
• per il controllo delle vibrazioni con piezoelettrici su strutture in scala
(Ha et al. [66] e Choi et al. [67]);
• per la minimizzazione di una funzione obiettivo di tipo quadratico
(Lazarus et al. [63], Egg, et al. [62] e Nam et al. [64]);
• per lo studio di una versione modificata dell’algoritmo di ottimizzazione
di Price per la ricerca del minimo globale della funzione obiettivo in un
dominio vincolato (Brachetti et al. [68]).
Nel presente studio, le deformate modali sono state calcolate tramite il
metodo degli elementi finiti, ma per le strutture che permettono una
soluzione analitica in forma chiusa, possono essere efficacemente
considerati anche i modi calcolati analiticamente. È stata applicata una
controreazione a catena chiusa sulle ampiezze di vibrazione, attraverso la
minimizzazione di una funzione obiettivo di tipo quadratico. A questo
scopo, è stata definita una funzione denominata "distanza tensoriale", in
analogia con la distanza geometrica tra due punti in uno spazio normato. È
stato successivamente dimostrato che la minimizzazione della distanza
tensoriale tra la forma quadratica dell’integrando della funzione obiettivo e
un tensore di rotazione di 90° è equivalente alla minimizzazione della
funzione obiettivo. Il procedimento numerico per l’ottimizzazione globale è
Modellizzazione ed Impiego dei Materiali Piezoelettrici per lo Smorzamento delle Vibrazioni Strutturali.
Sommario
15
una versione modificata dell’algoritmo di Price per la minimizzazione di
funzioni.
Come risultato del processo di ottimizzazione, si ottiene la posizione e la
dimensione ottimali per un piezoelettrico.
1.2.2.6 Modello di una reale struttura spaziale
È stata scelta e modellizzata con elementi finiti la struttura reale da
controllare. È stata effettuata una analisi comparativa delle possibili strategie
di controllo: sulle sorgenti del disturbo, sul cammino, locale e composta.
Dopo la descrizione dei vincoli e dei requisiti di progetto dimensionali e dei
materiali riguardanti l’area di intervento, è stata effettuata una analisi del
disturbo previsto alla sorgente e del disturbo massimo ammissibile al carico
utile.
1.2.3 Prove sperimentali: analisi del disturbo
L’obiettivo delle prove è la determinazione del disturbo esistente sul
satellite e delle sue modalità di trasmissione all’interno della struttura. È
stata scelta l’architettura del dispositivo sperimentale e della catena di
acquisizione dati. Nota la specifica di rumore ammissibile sul carico utile,
sono state misurate le grandezze necessarie per la caratterizzazione del
disturbo (force autopower spectra, acceleration autopower spectra,
rapporto segnale/rumore, coerenza e funzione di trasferimento). Le prove
sono state condotte sul satellite reale scala 1:1 presso il Centro Prove
Sperimentali C.A.S.A. (Madrid) a partire dal mese di Aprile ’97.
1.3 Risultati, conclusioni e vantaggi
È stato creato un modello agli elementi finiti del piezoelettrico sotto le
ipotesi Pin-Force, che comprende la modellizzazione della legge di
controllo, dell’amplificazione e della legge di saturazione del piezo. Con il
metodo caratterizzato, è possibile rappresentare diversi tipi di materiali
piezoelettrici, introducendo nel modello creato i valori di: massa,
M. de Benedetti
16
smorzamento, rigidezza, induttanza, resistenza e capacità del piezoelettrico
prescelto. In tal modo, vengono controllati forza e momento di attuazione
come funzioni del fattore di amplificazione, della curva di saturazione, del
tempo di ritardo e del tempo. Tale modello può essere connesso al modello
della struttura da controllare e può essere facilmente replicato e/o
riposizionato secondo le esigenze del controllo e del posizionamento
ottimo, in quanto è stata mantenuta la modularità del blocco di istruzioni
che descrivono l’elemento attivo piezoelettrico. È stato quindi possibile
effettuare la modellizzazione di una rete di coppie sensore/attuatore da
distribuire sulla struttura da controllare.
Il modello proposto può essere inserito nel modello ed elementi finiti (in
alcuni casi già esistente) di una struttura le cui vibrazioni debbono essere
controllate. Attraverso la previsione numerica degli effetti dell’inserimento
di un certo piezoelettrico in una determinata posizione, è possibile ottenere
una riduzione del numero di prove sperimentali necessarie sulla struttura
reale. In tal senso, la capacità previsionale del modello consente una
riduzione dei costi di sperimentazione.
1.4 Piano di lavoro.
Lo schema logico è stato riassunto nel diagramma a blocchi illustrato
nella seguente figura, nel quale possono essere individuate le singole fasi del
lavoro, che vengono di seguito descritte.
Modellizzazione ed Impiego dei Materiali Piezoelettrici per lo Smorzamento delle Vibrazioni Strutturali.
Sommario
17
SPECIFICHE , VINCOLI,
REQUISITI SATELLITE
STUDIO SPERIMENTALE
SORGENTI DISTURBO
FUNZIONALITÀ, FATTIBILITÀ,
TECNOLOGIE, COSTI
APPLICAZIONE LCBB
(LOW COST BREAD
BOARD)
VERIFICA DI COMPLIANCE DIMOSTRAZIONE FATTIBILITÀ,VALIDAZIONE METODO
TRADE OFF CON DEFINIZIONE
DELL’ATTUATORE E DEL
SENSORE , IN FUNZIONE DEL
PROBLEMA DI OSSERVABILITÀ
E DI CONTROLLABILITÀ
MODELLO FEM DEL SENSORE
E DELL’ATTUATORE PIEZO.
POSSIBILE APPLICAZIONE
FLIGHT
SI
NO
TRADE OFF CON DEFINIZIONE
DEL CONTROLLO
MODELLO DEL CONTROLLO
DELL’ATTUATORE PIEZO.
ELEMENTO FINITO DEL
SENSORE, DELL’ATTUATORE
DEL CONTROLLORE E
DELL’AMPLIFICATORE.
MODELLO DETTAGLIATO FEM
DELLA STRUTTURA.
ALGORITMO DI
POSIZIONAMENTO OTTIMO E
CONTROLLO OTTIMO
MODELLO FEM COMPLETO
STRUTTURA+SENS.+ATTUAT.
+CONTROLL.+AMPLIF., CON
DISPOSIZIONE OTTIMA
RIDUZIONE
MODELLO FEM RIDOTTO
AGGIORNAMENTO MODELLO
FEM COMPLETO STRUTTURA
CON DISPOSIZIONE OTTIMA
SENS.+ATTUAT., CONTROLLO
OTTIMO.
RUN PROGRAMMA
Fig. 1 : Diagramma a blocchi.
La base di partenza è costituita dallo studio delle specifiche sulla
struttura, dei requisiti sulle dimensioni e sulle funzionalità della struttura da
controllare (ad es. inviluppi da rispettare, aree e potenze disponibili, ecc.).
In secondo luogo, è necessario effettuare la scelta iniziale del tipo di sensore
e di attuatore, in funzione del problema di osservabilità e di controllabilità.
Come terzo ed ultimo punto relativo alle ipotesi di base, deve essere
individuato il tipo di controllo, effettuando una descrizione dei vincoli
derivanti dalla architettura della catena di controllo, in funzione dell’area di
intervento.
1. Specifiche, vincoli e requisiti satellite. Attraverso la comprensione
delle specifiche della struttura da controllare e la descrizione del
problema (vincoli e requisiti di progetto riguardanti l’area di intervento),
si passa allo studio del disturbo alla sorgente ed al carico utile.
Nell’ambito di tale analisi sono state identificate le possibili sorgenti
dalle quali ha usualmente origine la vibrazione strutturale, il “cammino”
M. de Benedetti
18
seguito dalla vibrazione all’interno della struttura, ed infine le modalità
della sua trasmissione al carico utile. Successivamente, attraverso l’analisi
di fattibilità tecnologica, si perviene ad una caratterizzazione definitiva
della struttura, con la quale è stato possibile preparare un modello ad
elementi finiti dettagliato e completo della struttura da controllare.
2. Definizione attuatore e sensore: questa fase riguarda una indagine
comparativa dei materiali piezoelettrici applicabili, con la relativa
modellizzazione analitica. In questa fase è stata effettuata una ricerca
bibliografica, al fine di individuare i limiti di applicabilità dei vari modelli
e metodi. In seguito ad un procedimento di rappresentazione
dell’effetto piezoelettrico secondo il modello “pin-force” [34], stato
possibile effettuare la rappresentazione dell’attuatore e del sensore agli
EF [49].
3. Definizione del controllo: anche il controllo, a controreazione diretta
di tipo derivativo, è stato modellizzato, rappresentando gli effetti della
catena di controreazione, compresa la distorsione introdotta dagli
elementi del circuito di smorzamento attivo (per es. l’amplificatore), in
un “modello agli elementi finiti” del controllo.
4. Mettendo assieme i modelli accennati nei precedenti punti due e 3, è
stato possibile mettere a punto un modello agli elementi finiti che
comprende l’insieme costituito dall’elemento attivo (sensore/attuatore),
il controllo e l’amplificatore.
5. Controllo e Posizionamento ottimo: prima di inserire il modello del
piezoelettrico e quello del controllo nel modello della struttura da
controllare, è stato necessario scegliere una tra le possibili strategie di
controllo di seguito elencate:
• sulle sorgenti: in questo caso, lo smorzamento delle vibrazioni è
ottenuto posizionando gli elementi piezoelettrici nelle immediate
Modellizzazione ed Impiego dei Materiali Piezoelettrici per lo Smorzamento delle Vibrazioni Strutturali.
Sommario
19
vicinanze delle sorgenti, o all’inizio del “cammino” delle vibrazioni
attraverso la struttura.
• Sul “cammino”: questa strategia impone di trovare sul “cammino”
alcuni punti di passaggio obbligato, nei quali possono essere posizionati
gli elementi piezoelettrici.
• Locale: lo smorzamento delle vibrazioni è ottenuto posizionando gli
elementi piezoelettrici direttamente sul payload, o sulla sua base
(interfaccia con la piattaforma del satellite).
• Composta: questa strategia è una combinazione delle precedenti.
Una volta scelta l’area di intervento, per posizionare opportunamente i
piezoelettrici sulla struttura, è stato impostato un algoritmo di
posizionamento ottimo. Tale algoritmo è basato sulla minimizzazione di
un apposito funzionale, messo a punto considerando il problema del
posizionamento assieme a quello del controllo ottimo. Grazie a tale
algoritmo, sono stati posizionati i piezoelettrici sulla struttura da
controllare.
6. Introducendo il modello del controllo attivo (di cui al punto 4) nel
modello della struttura da controllare (descritto nel punto 1), è stato
preparato un modello ad elementi finiti completo della struttura, con la
distribuzione ottima dei sensori, attuatori, compresa la catena di
controllo ed il dispositivo di amplificazione.
7. Per ridurre il numero dei gradi di libertà, è stata effettuata, sulla parte di
modello non interessata dalla distribuzione dei piezoelettrici, una
riduzione secondo la procedura di Craig-Bampton [56], ottenendo un
modello parzialmente ridotto e parzialmente dettagliato, in cui il livello
di dettaglio originale veniva mantenuto sulla sola struttura di supporto
del payload da smorzare sulla quale venivano posizionati gli elementi
M. de Benedetti
20
attivi piezoelettrici, mentre il resto del satellite, ed il payload stesso,
venivano ridotti all’interfaccia con la struttura di supporto che li collega.
8. Se il livello di vibrazioni risulta diminuito sufficientemente per
soddisfare il requisito iniziale, si procede alla validazione del metodo, in
caso contrario si può scegliere un nuovo tipo di sensore/attuatore, o di
controllo, o entrambi.
Modellizzazione ed Impiego dei Materiali Piezoelettrici per lo Smorzamento delle Vibrazioni Strutturali.
21
Parte 1.
APPROCCIO CONCETTUALE E TRATTAZIONE ANALITICA.
Verranno ora descritte le caratteristiche fondamentali dei materiali
intelligenti e, successivamente, delle strutture nelle quali tali materiali
vengono impiegati, quindi verrà proposto un modello per la
rappresentazione dell’effetto piezoelettrico.
2. Materiali intelligenti.
2.1 Definizione dei materiali intelligenti.
Sono materiali in grado di variare la loro forma a seconda delle
condizioni imposte (elettriche, di temperatura, di sollecitazione), e viceversa,
di generare un effetto (elettrico, termico, ecc.) se sottoposti ad una
variazione di forma.
2.2 Classificazione e nomenclatura dei materiali intelligenti.
I materiali intelligenti possono essere:
1. A memoria di forma (SMA);
2. Piezoelettrici e piezoceramici;
3. Elettrostrittivi;
4. Magnetostrittivi.
I materiali appartenenti alla prima ed alla quarta categoria possono essere
classificati come leghe ferrose, mentre quelli appartenenti alla seconda ed
alla terza categoria sono materiali cristallini, che possono essere del tipo
“single crystal”, come alcuni cristalli piezoelettrici naturali, oppure del tipo
policristallino, con i cristalli organizzati in grani. A tale categoria
M. de Benedetti
22
appartengono i materiali piezoelettrici ceramici che verranno modellizzati
nel presente studio.
2.3 Applicazioni.
Le applicazioni più frequenti sono :
1. Controllo di strutture nei fenomeni aeroelastici;
2. Controllo della geometria;
3. Puntamento di precisione;
4. Controllo e smorzamento di vibrazioni;
5. Attuatori.
Consideriamo ora solo la 2a classe di materiali, relativamente alla 4a
tipologia di applicazioni.
2.4 Materiali piezoelettrici.
2.4.1 Definizione dei materiali piezoelettrici.
I materiali piezoelettrici hanno la caratteristica di deformarsi quando
viene loro applicato un campo elettrico e, viceversa, di generare una
differenza di potenziale se deformati. La piezoelettricità è quindi la
proprietà di alcuni cristalli, elettricamente non conduttori, di elettrizzarsi su
determinati piani se deformati elasticamente mediante l’applicazione di una
azione meccanica. L’azione applicata può essere di compressione, trazione,
taglio od una loro combinazione. Tale comportamento è detto effetto
piezoelettrico diretto. La somma algebrica delle cariche elettriche che si
producono sulla superficie ideale di un singolo cristallo piezoelettrico è
nulla. Esiste anche il fenomeno inverso, cioè quello per cui gli stessi cristalli,
eccitati da un adeguato campo elettrico, si deformano. Le proprietà
descritte possono essere applicate inserendo elementi realizzati con
materiale piezoelettrico all’interno di opportuni dispositivi per la misura
delle caratteristiche cinematiche di una struttura (ad es. accelerometri),
oppure per il controllo delle deformazioni o delle vibrazioni strutturali.
Modellizzazione ed Impiego dei Materiali Piezoelettrici per lo Smorzamento delle Vibrazioni Strutturali.
Parte 1 - Analitica
23
La densità della carica elettrica generata è detta intensità di polarizzazione
ed è proporzionale, entro certi limiti, alla deformazione elastica e quindi
all’azione meccanica che la produce. Il tempo di risposta alla deformazione,
cioè il tempo che intercorre tra l’applicazione della deformazione e la
comparsa delle cariche elettriche, è in alcune applicazioni dell’ordine di 10-8
s. Ciò spiega l’impiego dei cristalli piezoelettrici nelle misure di vibrazione.
Tale comportamento fisico è dovuto al fatto che nei materiali piezoelettrici
uno o più atomi del cristallo sono in una posizione che non corrisponde al
livello di energia minima. Il fenomeno è in generale presente in quei cristalli
il cui sistema strutturale manchi di determinati elementi di simmetria.
Macroscopicamente, questo corrisponde anche ad una disposizione
asimmetrica delle cariche, le quali, a causa della deformazione, subiscono
spostamenti relativi tali da provocare la comparsa di cariche opposte sulle
facce del piezoelettrico, con emissione od assorbimento di una quantità
(finita) di carica.
2.4.2 Preparazione dei materiali piezoelettrici.
I piezoelettrici naturali sono materiali cristallini per i quali è possibile
individuare tre assi principali meccanici e tre assi principali elettrici.
Usualmente vengono lavorati tagliandoli a forma di parallelepipedo secondo
piani ortogonali agli assi elettrici. Oltre che nei cristalli naturali, il fenomeno
piezoelettrico è stato riscontrato anche su materiali artificiali, dopo appositi
trattamenti polarizzanti. Si tratta in generale di materiali ceramici
policristallini (titanato di bario, zirconato di stagno, titanato di stagno, ecc.) i
quali vengono preparati tenendo conto delle caratteristiche ideali che si
richiedono ad un materiale piezoelettrico per misure di vibrazione o di
moto, che sono principalmente:
• elevata resistenza elettrica;
• rapida risposta alla generazione delle cariche;