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Un algoritmo euristico per il problema del vertex coloring

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Si definisce tempo di esecuzione di A per istanze la cui lunghezza dell’input è pari ad l la quantità f ∗A(l) = max {fA(X) : L(x) = l}. L’algoritmo A è detto polinomiale per P se f ∗A(l) = O(lp) per qualche p ∈ N. Questi problemi saranno nel seguito definiti anche “facili”. Vi sono poi alcuni casi in cui è possibile rispondere al problema decisionale in tem- po polinomiale, ma non esistono (ancora) algoritmi che li rendano matematicamente trattabili. Sia P ∈ NP , se ogni problema Q ∈ NP è polinomialmente riducibile a P , allora si dice che P è NP −Completo, o in modo equivalente P ∈ NP −C . Questa definizione implica che se si riuscisse a trovare un algoritmo polinomiale per uno di questi problemi, si sarebbe in grado di rendere l’intera classe matematicamente trattabile. Nonostante i ripetuti sforzi di questi ultimi anni ciò non è stato possibile, ed è ad oggi oggetto di studio. Dimostrato che un problema è NP − Completo si è costretti quindi ad abbandona- re la strada degli algoritmi esatti, aventi complessità computazionale troppo alta, ed intraprendere altre vie. Tra queste le più importanti: – algoritmi approssimati: applicati ad un’istanza del problema forniscono una so- luzione il cui valore è distante dalla soluzione ottima al più di una quantità ε. Solitamente sono polinomiali, sarebbe infatti inutile costruire un algoritmo non polinomiale e neanche esatto; – algoritmi euristici: rendono soltanto una soluzione ammissibile, che cioè rispetta i vincoli del problema, non esiste nessuna informazione sulla distanza dall’ottimo. Spesso sono usati per calcolare Upper Bound (problemi di min) o Lower Bound (problemi di max), cioè soluzioni ammissibili di valore superiore ( rispettivamente inferiore) all’ottimo. Il problema affrontato del vertex coloring è NP −Completo poichè ricoducibile polino- mialmente al problema del 3− SAT , che non si approfondisce. Le considerazioni esposte servono a giustificare la scelta fatta. Per riuscire a dare soluzione “buone” al problema in tempi accettabili, si è presa la strada degli algoritmi euristici. Nella parte successiva si descriverà il problema e le situazioni tipo con esso modellizzabili. 8
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Indice dalla tesi:

Un algoritmo euristico per il problema del vertex coloring

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Informazioni tesi

  Autore: Luigi Braga
  Tipo: Laurea liv.I
  Anno: 2008-09
  Università: Università degli Studi di Roma Tor Vergata
  Facoltà: Ingegneria
  Corso: Ingegneria gestionale
  Relatore: Benedetto Scoppola
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 41

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Parole chiave

coloring
operations research
pca
probabilistic cellular automata
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