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Catene di Markov e processi epidemici stocastici

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1.1 Definizioni e propriet` a generali 10 Dim. Tali propriet` a sono conseguenze dirette della definizione di p ij . Mostriamo, per chiarezza, la seconda: null j∈E p ij = null j∈E P(X n+1 =j|X n =i) =P null null j∈E {X n+1 =j}|X n =i null = =P(X n+1 ∈E|X n =i) = 1.  Osservazione 1.1 Osserviamo quindi che, come funzione di j, p ij ` e la pro- babilit` a condizionata di X n+1 , dato X n =i. Osservazione 1.2 Spesso, nei testi che trattano questo argomento, la matrice di transizione ` e definita come la trasposta di P e la notazione per indicare la probabilit` a di transizione da uno stato i ad uno stato j ` e p ji invece di p ij (da cui l’ovvia conseguenza che ` e la somma degli elementi delle colonne — e non delle righe — ad essere uguale ad 1). Il vantaggio di questa scelta, diversa dalla nostra, consiste nel ricordare la notazione comunemente usata nell’ambito dei modelli deterministici. Infatti, se x n+1 = Ax n rappresenta la dinamica di un sistema che si evolve nel tempo, il termine a ij della matrice A rappresenta l’effetto che la variabile y j ha su y i nell’intervallo di tempo [n,n+1]. Definizione 1.7 Una matrice che gode delle propriet` a 1 e 2 della proposi- zione 1.1 ` e detta stocastica. Se anche la somma degli elementi sulle colonne` e uguale a 1 allora la matrice ` e detta bistocastica. Vedremo, nella prossima sezione, che la matrice di transizione P fornisce la probabilit` a di una variazione di stato dopo un singolo passo temporale, e inoltre vedremo che per calcolare la probabilit` a che la catena di Markov si trovi, dopo m passi, in un dato stato j, dovremo calcolare le entrate della potenza m-esima della matrice di transizione. Definizione 1.8 Definiamo matrice di transizione dopo m passi la matrice P (m) = (p (m) ij ) i,j∈E×E , le cui componenti sono date da p (m) ij =P(X n+m =j|X n =i) =P(X m =j|X 0 =i). (1.4) Proposizione 1.2 Se la catena di Markov ` e omogenea, allora la matrice di transizione dopo m passi P (m) coincide con la potenzam-esima della matrice di transizione P, cio` e P (m) =P m .
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Catene di Markov e processi epidemici stocastici

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Informazioni tesi

  Autore: Federica Capparelli
  Tipo: Laurea liv.I
  Anno: 2009-10
  Università: Università degli Studi di Milano
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Scienze matematiche
  Relatore: Daniela Morale
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 76

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