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New construction methods for copulas and the multivariate case

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1.1 Partially Ordered Sets and Lattices 3 i.e. x A y for x;y2 A implies x L y, A is not necessarily a sublattice of L. If f(x) is a function from a set L into a partially ordered set Y , then the level sets of f(x) on L are the setsfx : x2 L;y f(x)g for y in Y . A function f(x) from a set L into a partially ordered set Y is a generalized indicator function for a subset A of L if f(x)= ( y 00 for x2 A; y 0 for x2 L and x = 2 A where y 0 y 00 in Y ; that is, if the only level sets of f(x) on L are L, A and perhaps the empty set. An indicator function is a generalized indicator function with Y = 1 , y 0 = 0 and y 00 = 1. If L is a partially ordered set, A is a subset of L and L\[x;¥) is a subset of A for each x2 A, then A is an increasing set. Equivalently, a subset A of a partially ordered set L is an increasing set if the indicator function of A\[x;¥) is an increasing function on L for each x2 A. Increasing sets are useful in characterizing properties of parameterized collections of distribution functions. It can be shown that a nonempty finite lattice has a greatest element and a least element (Lemma 2.2.1 in [98]). A different proof of this result comes from combining the properties that any nonempty finite partially ordered set has a maximal element and a minimal element and that a maximal (minimal) element of a lattice is the greatest (least) element. If L i is a partially ordered set with binary relation i for each i2 I, then the direct product of these partially ordered sets is the partially ordered set consisting of the set i2I L i with the pro- duct relation where x 0 x 00 in i2I L i if x 0 i i x 00 i for each i in I. A special case of this direct product example is the partially ordered set n =f(x 1 ;:::;x n ) : x i 2 1 8 i= 1;:::;ng with the ordering relation where x 0 x 00 in n if x 0 i x 00 i in 1 for i= 1;:::;n. In fact I=f1;:::;ng, L i = 1 with 1 having the usual ordering relation for each i in I and n = i2I L i . If L and T are sets and S is a subset of L T , then the section of S at t in T is S t =fx : x2 L;(x;t)2 Sg and the projection of S on T isP T S=ft : t2 T;S t is nonemptyg. Lemma 2.2.2 and Lemma 2.2.3 in [98] show that intersections, sections and projections of sublattices are also sublattices. Furthermore, the direct product of lattices is a lattice and of sublattices is a sublattice. Essential properties characterizing sublattices of the direct product of any finite col- lection of lattices can be expressed in terms of sublattices of the direct product of two lattices. A lattice in which each nonempty subset A has a supremum_A and an infimum^A is com- plete. The concept is self-dual and obviously half of the hypothesis is redundant. For a com- plete lattice L, the supremum of L is denoted by 1 and the infimum of L is denoted by 0. Thus L is a bounded lattice, with 1 as its greatest element and 0 as its least element. By Lemma 2.2.1 in [98], any finite lattice is complete. A nonempty complete lattice has a greatest element and a least element. If A is a sublattice of a lattice L and if, for each nonempty subset A 0 of A, sup L (A 0 ) and inf L (A 0 ) exist and are contained in A, then A is a subcomplete sublattice of L. By Lemma 2.2.1, any finite sublattice of a lattice is subcomplete. Hence any sublattice of a finite lattice is subcomplete. Each closed interval in a complete lattice L is a subcomplete sublattice of L and the supremum and infimum with respect to the closed in- terval of any subset of the closed interval are the same as the supremum and infimum with respect to L of that same subset. If L is a lattice and A is a subcomplete sublattice of L, then
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New construction methods for copulas and the multivariate case

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Informazioni tesi

  Autore: Maddalena Manzi
  Tipo: Tesi di Dottorato
Dottorato in Scienze Matematiche - Indirizzo Matematica Computazionale
Anno: 2011
Docente/Relatore: Marta Cardin
Correlatore: RadkoMesiar
Istituito da: Università degli Studi di Padova
Dipartimento: Dipartimento di Matematica
  Lingua: Inglese
  Num. pagine: 142

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Parole chiave

copule
measure
probability
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supermodularity
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ultra modular

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