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New construction methods for copulas and the multivariate case

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1.2 Increasing differences and supermodular functions 5 3. a lattice endomorphism of L is a lattice homomorphism from L to itself; 4. a lattice isomorphism is a bijective lattice homomorphism, or equivalently, an order iso- morphism. Definition 1.1.1 LetL=(L;^ L ;_ L ;0 L ;1 L ) andM=(M;^ M ;_ M ;0 M ;1 M ) be bounded lattices. A function g : L! M for which g(0 L )= 0 M and g(1 L )= 1 M is called af0;1g-homomorphism if g(0 L )= 0 M and g(1 L )= 1 M . If L and M are complete lattices, a continuous homomorphism from L to M is a function h : L! M such that : h(^A)=^h(A) h(_A)=_h(A) for every nonempty subset A of L. 1.2 Increasing differences and supermodular functions Suppose that L and T are partially ordered sets and f(x;t) is a real-valued function on a subset S of L T . For t in T , let S t denote the section of S at t. If f(x;t 00 ) f(x;t 0 ) is increasing, decreasing, strictly increasing, or strictly decreasing in x on S t 00\ S t 0 for all t 0 t 00 in T , then f(x;t) has, respectively, increasing differences, decreasing differences, strictly increasing differences or strictly decreasing differences in (x;t) on S. The con- ditions of these definitions do not distinguish between the first and second variables because f(x 0 ;t 00 ) f(x 0 ;t 0 ) f(x 00 ;t 00 ) f(x 00 ;t 0 ) if and only if f(x 00 ;t 0 ) f(x 0 ;t 0 ) f(x 00 ;t 00 ) f(x 0 ;t 00 ), and similarly for a strict inequality. Suppose that L i is a partially ordered set for each i in a set A, L is a subset of i2A L i , an ele- ment x in L is expressed as x=(x i ) i2I , where x i is in L i for each i in I and f(x) is a real-valued function on L. If, for all distinct i 0 and i 00 in I and for all x 0 i in L i for all i in Infi 0 ;i 00 g, f(x) has increasing differences, decreasing differences, strictly increasing differences, or strictly decreasing differences in (x i 0;x i 00) on the section of L atfx 0 i : i2 Anfi 0 ;i 00 gg, then f(x) has, respectively, increasing differences, decreasing differences, strictly increasing differences, or strictly decreasing differences on L. If f(x) is differentiable on n , then f(x) has increas- ing differences on n if and only if¶ f(x)=¶x i 0 is increasing in x i 00 for all distinct i 0 and i 00 and all x. If f(x) is twice differentiable on n , then f(x) has increasing differences on n if and only if¶ 2 f(x)=¶x i 0¶x i 00 0 for all distinct i 0 and i 00 and all x. Suppose that f(x) is a real-valued function on a lattice L. If f(x 0 )+ f(x 00 ) f(x 0 _ x 00 )+ f(x 0 ^ x 00 ) for all x 0 and x 00 in L, then f(x) is supermodular on L. If f(x 0 )+ f(x 00 )< f(x 0 _ x 00 )+ f(x 0 ^ x 00 ) for all unordered x 0 and x 00 in L, then f(x) is strictly supermodular on L. If f(x) is (strictly) supermodular, then f(x) is (strictly) submodular. A function that is both supermodular and
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New construction methods for copulas and the multivariate case

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Informazioni tesi

  Autore: Maddalena Manzi
  Tipo: Tesi di Dottorato
Dottorato in Scienze Matematiche - Indirizzo Matematica Computazionale
Anno: 2011
Docente/Relatore: Marta Cardin
Correlatore: RadkoMesiar
Istituito da: Università degli Studi di Padova
Dipartimento: Dipartimento di Matematica
  Lingua: Inglese
  Num. pagine: 142

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Parole chiave

copule
measure
probability
joint distribution
supermodularity
random variables
ultra modular

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