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New construction methods for copulas and the multivariate case

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1.2 Increasing differences and supermodular functions 7 itively increasing differences say that there must be “complementarity" between attributes. Proposition 1.2.2 An n-ary function f : [0;1] n ![0;1] is supermodular if and only if each of its two-dimensional sections is supermodular, i.e., for each x2[0;1] n and all i; j2f1;2;:::;ng with i6= j, the function f x;i; j : [0;1] 2 ![0;1] given by f x;i; j (u;v)= f(y), where y i = u, y j = v and y k = x k for k2f1;2;:::;ngnfi; jg, is supermodular. Proof : On a generic lattice we have the similar result in the Definition 1:2 in [11]. The same result can be applied to our case as well, because[0;1] n is a lattice, 2 Remark 1.2.3 (Supermodular lattices) It is clear that with a supermodular indicator func- tion we can define a supermodular sublattice in a lattice. This definition and in particular the description of supermodular sublattices in products of relatively complemented lattices can be found in [63]. Definition 1.2.4 A sublattice L 0 of a lattice L is called supermodular (in L) if, for any x2 L 0 and y2 L, at least one of the elements x^ y;x_ y belongs to L 0 . Prototypical examples of supermodular sublattices in any lattice are its ideals, filters, and (set- theoretic) unions of an ideal and a filter. In the next chapters we will apply all these concepts in the theory of aggregation functions and copulas, but, first of all, we are going to introduce the basic background, definitions and properties in this context.
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New construction methods for copulas and the multivariate case

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Informazioni tesi

Autore: Maddalena Manzi
Tipo: Tesi di Dottorato
Dottorato in Scienze Matematiche - Indirizzo Matematica Computazionale
Anno: 2011
Docente/Relatore: Marta Cardin
Correlatore: RadkoMesiar
Istituito da: Università degli Studi di Padova
Dipartimento: Dipartimento di Matematica
Lingua: Inglese
Num. pagine: 142

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Parole chiave

copule
measure
probability
joint distribution
supermodularity
random variables
ultra modular

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