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The Design of the CoCoA 3 System

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In the 1960's, Buchberger and Hironaka discovered new algoriths for manipulat-ing systems of polynomial equations. Fueled by the development of computersfast enough to run these algorithms, the last two decades have seen a minorrevolution in commutative algebra. The ability to compute eÆciently withpolynomial equations has made it possible to investigate complicated examplesthat would be impossible to do by hand, and has changed the practice of muchresearch in algebraic geometry. This has also enhanced the importance of thesubject for computer scientists and engineers, who have begun to use thesetechniques in a whole range of problems.Some importants papers among like [Rob86] and [MM86] consolidated, in the middle ofthe '80, the mathematical foundations of the Grobner bases and of some related notions.Here is what Lorenzo Robbiano wrote in the review [Rob96] of the books \Grobner Bases:A computational approachtocommutative algebra", byBecker and Weispfenning [BW93],and \An introduction to Grobner Bases" by Adams and Loustaunau [AL94]:For manyyears the importance of Buchberger's work was not fully appreciated.Only in the eighties did researchers in mathematics and computer science startadeepinvestigation of the wide variety of application that could be developedfrom the new theory. Many generalizations and applications to di erent prob-lems were investigated. It immediately became clear that the theory of GrobnerBases was about to become widely used and immensely populare in many areasof science. What I have not yet said, but what is rather starling, is the uttersimplicity of the fundamental ideas. Simplicity and power: two ingredients thatmake a perfect mix for the success of a theory.1.3 The Problem of the RepresentationKronecker once said:God created integers: the rest is human's stu .Anyway the man has problems even with the representation of integers! The majority ofprogramming languages treat integers as a nite set, such as f231;:::;231 1g. It's easyto say: \My data is small, hence the answer will be small, so I do not need big integersand this set will suÆce. This assertion is completely wrong. Suppose you want to computethe GCD (greatest common divisor), of the following two polynomials ([Knu69, Bro71]):12
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The Design of the CoCoA 3 System

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Informazioni tesi

  Autore: Antonio Capani
  Tipo: Tesi di Dottorato
Dottorato in Informatica
Anno: 2000
Docente/Relatore: Lorenzo Robbiano
Correlatore: AlessandroLogarMartinKreuzer
Istituito da: Università degli studi di Genova
Dipartimento: DISI: Dip. Informatica e Scienze dell'Informazione
  Lingua: Inglese
  Num. pagine: 105

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Parole chiave

algebra
buchberger
groebner
programming
algorithm
polynomial

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