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Modelli di interazione popolazione sostanze tossiche: analisi qualitativa e controllo ottimo

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8CAPITOLO1. MODELLIDIINTERAZIONEPOPOLAZIONE-SOSTANZETOSSICHE 1.1 Modello di Hallam Il modello di Hallam costituisce una possibile rappresentazione della dinamica delle interazione popolazione-sostanze tossiche in modo pi` u specifico, attraverso la sua ana- lisi ` e possibile valutare il comportamento (persistenza o estinzione) di una specifica popolazione che vive in un habitat inquinato. Il modello descrive la dinamica di tre variabili di stato: x = x(t), misura di una popolazione al tempo t (per esempio espressa in termini di biomassa); c 0 = c 0 (t), la concentrazione di sostanze tossiche in un singolo organismo al tempo t; c e = c e (t), la concentrazione di sostanze tossiche nell’ecosistema al tempo t. La dinamica delle sostanze tossiche ` e definita da due equazioni di bilancio della massa, mentre la dinamica della popolazione ` e supposta seguire crescita logistica, con tasso di crescita dipendente linearmente dalle sostanze tossiche presenti nell’organismo. Dun- que il modello ` e costituito dalle seguenti tre equazioni di erenziali ordinarie del primo ordine: ˙ x = x(b d f x); (1.1) ˙ c 0 = kc e (g + m)c 0 ; (1.2) ˙ c e = k 1 c e x hc e + g 1 c 0 x + a(t); (1.3) x(0)> 0 0 c o (0) 1 0 c e (0) 1: (1.4) Inoltre vale la limitazione: 0 a(t) a 1 : (1.5) Nelle equazioni (1.1)-(1.5) i parametri b, d, f, k, g, m, k 1 , g 1 , a 1 , sono costanti positive. La prima equazione del modello ` e un’equazione di crescita logistica, e il termine di crescita intrinseca si suppone sia dato da b d = r 0 r 1 c 0 , con r 0 e r 1 costanti positive. L’equazione (1.2), mostra che la variazione di sostanze tossiche in un singolo individuo dipende dalla quantit` a di sostanze tossiche assorbite dall’ambiente (kc e ) e dalle quan- tit` a espulse o smaltite dall’organismo stesso ((g + m)c 0 ). Quanto all’equazione (1.3), decriveremo la quantit` a totale delle sostanze tossiche nel- l’ambiente (y e ). La sua variazione nel tempo ` e data dalla somma algebrica delle quantit` a di sostanze tossiche immesse nell’ambiente ed quelle ad esso sottratte, cio` e ˙ y e = kc e m 0 x + gc 0 m 0 x hy e + A(t): (1.6) In tale ` e presente una nuova costante positiva m 0 che rappresenta la massa di un singo- lo individuo (dunque m 0 x, rappresenta la massa dell’intera popolazione). La quantit` a di input di sostanze tossiche ` e data inanzittuto da un fattore esterno A(t) (per esempio, scarichi industriali), e inoltre dalle sostanze tossiche espulse da ogni singolo organismo
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Modelli di interazione popolazione sostanze tossiche: analisi qualitativa e controllo ottimo

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Informazioni tesi

  Autore: Gabriella Monaco
  Tipo: Tesi di Laurea Magistrale
  Anno: 2010-11
  Università: Università degli Studi di Napoli - Federico II
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Bruno Buonomo
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 81

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