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Sul ruolo della stretta convessità nello studio delle equazioni funzionali alternative

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Denizione 1. Due equazioni funzionali si dicono equivalenti se le rispet- tive classi di soluzioni coincidono Osservazione 2. Non vien presa in considerazione la forma alternativa kf(x +y) f(x)k =kf(y)k poich e equivalente alla (1.3) come ci si accorge facilmente particolarizzando quest’ultima equazione alla coppia di argomenti (y;x). 1.1 Operatori a valori in spazi strettamente convessi Prima di addentrarsi nello studio delle equazioni (1.2) e (1.3) e bene pre- mettere alcune considerazioni riguardanti la nozione di stretta convessit a , propriet a di natura geometrica la quale, come ci si render a conto, giocher a un ruolo fondamentale lungo tutto il corso del presente lavoro. Denizione 3. Uno spazio normato reale E = (E;kk ) si dice stretta- mente convesso se a;b2E (a6= 0;b6= 0) ka +bk =kak +kbk implica 9t> 0 :a =tb e quindi a e b sono vettori linearmente dipendenti. Equivalentemente: Denizione 4. Uno spazio normato reale E = (E;kk ) si dice stretta- mente convesso se: x;y2E (x6=y) ekxk =kyk = 1) x +y 2 < 1: Infatti qualunque sia lo spazio normato reale, sex ey (x6=y) sono vettori della sfera unitaria risulta: kx +ykk xk +kyk = 1 + 1 = 2 cio e x +y 2 1 Se per assurdo fosse x +y 2 = 1 allorakx +yk = 2 =kxk +kyk e quindi per la stretta convessit a 9t > 0 tale che x = ty. Passando alle norme nella relazione si ottiene: kxk =jtjkyk da cui segue necessariamente t = 1, cio e x =y, il che e contraddittorio. 6
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Sul ruolo della stretta convessità nello studio delle equazioni funzionali alternative

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Informazioni tesi

  Autore: Davide Corbelletto
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 2003-04
  Università: Università degli Studi di Torino
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Fulvia Skof
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 80

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Parole chiave

analisi funzionale
equivalenza
equazioni funzionali
forme quadratiche
dominio ristretto
stretta convessità
forme alternative

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