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Classificazione automatica per dati ad alta dimensionalità: un approccio fuzzy per dati categorici

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5. Disuguaglianza ultrametrica, o di Krassner: D(i;i 0 ) sup(D(i;i 00 );D(i 00 ;i 0 )). L’applicazione D tra i ed i 0 è minore o uguale rispetto all’applicazione più gran- de tra D(i;i 00 ) e D(i 00 ;i 0 ). Questa condizione è detta anche del triangolo isoscele, perchè le lontananze che caratterizzano ciascuna terna di punti sono date dal triangolo isoscele la cui base è data dalla distanza dei punti più vicini tra loro. Considerate, quindi, tre osservazioni nella matrice D, le cui applicazioni si in- crociano tra di loro, si verifica che una delle tre possibili applicazioni D (con D6= 0, quindi per i6= i 0 ), all’interno della sottomatrice di dimensioni 3 3, è sempre minore o uguale rispetto alla più grande tra le altre due. Si parlerà di indice di (dis)similarità se si verificano solamente le prime tre condizio- ni; esso assume valori sempre compresi nell’intervallo chiuso[0;1] 3 , può risultare nul- lo anche quando i6= i 0 , e consente il solo confronto tra le caratteristiche di coppie di ele- menti dell’insieme [24]. La matrice D assumerà il nome di matrice di (dis)similarità, e sarà soltanto simmetrica con elementi nulli sulla diagonale principale. Si parlerà di indice di distanza, o di metrica, se si verificano soltanto le prime quattro condizioni; esso può assumere qualsiasi valore non negativo, e consente la definizione di una relazione d’ordine tra le distanze tra i punti - ossia la determinazione di una "so- glia" che definisca una partizione dell’insieme iniziale in gruppi tale che un elemento si trovi in uno di essi a seconda che la distanza da tutti gli altri elementi rispettivamente sia minore o uguale della soglia fissata, o maggiore di questa [24]. In questo caso, la matrice D assumerà il nome di matrice delle distanze: essa sarà simmetrica, semide- finita positiva e con elementi sulla diagonale principale pari a 0. Si parlerà, infine, di ultrametrica se si verificano le condizioni 1, 2, 3 e 5. La cor- rispondente matrice D prenderà il nome di matrice delle distanze ultrametriche, e sarà simmetrica e con elementi sulla diagonale principale pari a 0, ma non semidefinita positiva. Tale matrice costituisce però a tutti gli effetti una matrice di distanze, perchè la disuguaglianza ultrametrica implica la disuguaglianza triangolare. La scelta della misura di diversità è strettamente legata alla natura dei dati, risultando infatti diverse le misure da adottare a seconda che le osservazioni siano descritte da variabili numeriche, da frequenze o da variabili non numeriche. Una scelta sbagliata della misura di diversità può, a sua volta, influenzare i risultati della cluster analysis. 1.3.1 La distanza euclidea Considerando che le n righe della matrice X sono rappresentabili come punti all’in- terno dello spazio a q dimensioni formato dalle variabili [24], è possibile calcolare le distanze all’interno dello stesso spazio tra tutte le coppie di osservazioni(i;i 0 ), a partire dalle loro coordinate. Per raggiungere tale scopo, probabilmente la più nota e la più utilizzata misura di diversità è la distanza euclidea. Presi, quindi, due punti i ed i 0 in uno spazio a q dimensioni, la loro distanza euclidea - risultante dall’applicazione del Teorema di Pitagora - è calcolata come la radice quadrata della somma dei quadrati 3 Generalmente, un indice di similarità s ii 0 è il complemento ad 1 di un indice di dissimilaritàd ii 0 . Due osservazioni i e i 0 sono, quindi, vicine tra di loro se la loro misura di dissimilarità è piccola, o alternativamente se la loro misura di similarità è grande. Viceversa, sono lontane se la loro misura di (dis)similarità è piccola (grande). 8
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Classificazione automatica per dati ad alta dimensionalità: un approccio fuzzy per dati categorici

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Informazioni tesi

  Autore: Marco D'Alessandro
  Tipo: Tesi di Laurea Magistrale
  Anno: 2017-18
  Università: Università degli Studi di Napoli - Federico II
  Facoltà: Scienze Politiche
  Corso: Scienze Statistiche per le decisioni
  Relatore: Francesco Palumbo
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 140

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Parole chiave

cluster analysis
raggruppamento
riduzione della dimensionalità
fuzzy cluster analysis
fuzzy approach

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