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Il problema della stima nelle equazioni differenziali stocastiche: un approccio operativo

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 7 L’importanza del processo di Wiener e` dovuta al fatto che formalizza un comportamento del tutto casuale di un elemento aleatorio dovuto ad infiniti shock esogeni e, nonostante questo, conserva delle caratteristiche di bonta`, quali la continuita` (q.c.) delle traiettorie, che ne rendono studiabile il comportamento (anche se richiederanno strumenti nuovi come l’integrale stocastico). Sfortunatamente, tale regolarita` nelle traiettorie di un processo di Wiener, non e` sufficiente a garantirne anche la differenziabilita`, in accordo con un teorema dimostrato dallo stesso Wiener. Intuitivamente la cosa si spiega pensando che il numero di incrementi casuali per ogni istante di tempo e` tale da determinare una traiettoria che, sebbene continua, presenta infiniti punti angolosi11. In particolare si dimostra che la traiettoria di un processo di Wiener e` una funzione continua ma a variazione non finita in ogni intervallo [a, b]12. Per concludere ricordiamo alcune proprieta`13 che torneranno utili nel corso del lavoro. In particolare abbiamo: dalla legge forte dei grandi numeri lim t→∞ Wt t = 0 (q.c.) (1.3) dalla legge del logaritmo iterato lim sup t→∞ Wt√ 2t lg lg t = +1 (q.c.) (1.4) lim inf t→∞ Wt√ 2t lg lg t = −1 (q.c.) (1.5) 11una definizione piu` accurata si trova in McKean, H. P. “Stochastic Integrals”, New York, Academic Press, 1969 12dove per variazione di una funzione f(x) su di un intervallo [a, b] si intende suppi ∑ | f(xi+1)− f(xi) | e dove pi varia tra tutte le partizioni a = x1, x2, x3, ..., xn+1 = b dell’intervallo [a, b]. 13vedi Arnold (’73) pp. 46 e succ.

Anteprima della Tesi di Roberto Matterazzo

Anteprima della tesi: Il problema della stima nelle equazioni differenziali stocastiche: un approccio operativo, Pagina 6

Tesi di Laurea

Facoltà: Economia

Autore: Roberto Matterazzo Contatta »

Composta da 306 pagine.

 

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