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Metodi variazionali

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importante indicare gli spazi in cui si imposta il problema. Infatti uno dei motivi fondamentali dell’Analisi Funzionale è quello di cercare gli spazi dove il problema è ben posto, cosa che si riconosce provando risultati di esistenza, unicità e dipendenza continua delle soluzioni dai dati. Dato uno spazio vettoriale E ed un funzionale f:EjR, X⊂E, si pone il problema di cercare il minimo di f in X cioè cercare v∈X tale che f(v)= )(inf uf Xu∈ . Questo è un problema che ci poniamo ma deve essere ancora affinato. Per esempio se E=R n , f continua ed X compatto, per il teorema di Weierstrass ha soluzione. La 1 a richiesta che si fa è che E deve essere uno spazio vettoriale topologico. La 2 a richiesta che si fa è che f:EjR sia semicontinua inferiormente. La 3 a richiesta è che X deve essere chiuso e non vuoto. La 4 a è che deve esistere a ∈R tale che )( fLa ∩X è compatto e non vuoto. La 4a richiesta è di difficile verifica e pertanto consideriamo delle condizioni che la possano implicare. Possiamo supporre )( fLa ∩X limitato e per questo è sufficiente richiedere che 5 a richiesta X limitato o in modo alternativo si può richiedere una coercitività di f, ossia 6 a richiesta +∞= ∞→ )(lim xf x supponendo che la topologia di E è tale che gli insiemi compatti siano i chiusi e limitati. Si può pensare di dovere aggiungere delle ipotesi di convessità tenendo conto del teorema per il quale un sott’insieme non vuoto convesso di uno spazio normato è fortemente chiuso se e solo se lo è debolmente, come abbiamo già detto in precedenza. Quindi abbiamo 7 a richiesta X è convesso 8 a richiesta f: EjR è convessa. Per ultimo ricordando che ogni spazio di Hilbert è riflessivo richiediamo che

Anteprima della Tesi di Claudio Pistacchio

Anteprima della tesi: Metodi variazionali, Pagina 2

Tesi di Laurea

Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Autore: Claudio Pistacchio Contatta »

Composta da 86 pagine.

 

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Disponibile in PDF, la consultazione è esclusivamente in formato digitale.