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Il Libor Market Model: aspetti teorici e applicazioni al pricining dei derivati sul tasso d'interesse

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1.2 CONDIZIONAMENTO E PROCESSI DI MARTINGALE 
Nella teoria delle probabilità l’informazione viene modellata tramite le ı-algebre. Quando viene 
eseguita una prova aleatoria vi sarà un risultato Ȧɽȍ il cui valore non viene rivelato. Ciò che 
sappiamo per ogni insieme B della ı-algebra F  e se Ȧɽ B o meno. Una v.a. è  F  - misurabile se 
l’insieme {X ɽ B} = { Ȧɽȍ; X(Ȧ) ɽ B} sta in F  per ogni sottoinsieme di Borel B in R. In questo 
caso l’informazione contenuta in F è sufficiente per determinare il valore della v.a. X(Ȧ). [52] 
All’altro estremo si pone il caso in cui l’informazione nella ı-algebra F  non è di nessuna rilevanza 
ai fini della determinazione del valore di X(Ȧ). La variabile aleatoria è indipendente dalla ı-
algebra. Le relazioni di indipendenza tra ı-algebre e variabili aleatorie possono essere riassunte 
nella seguente [55] 
DEFINIZIONE1.12 Sia  (ȍ, F,P) uno spazio di probabilità con G e H   due sub-ı-algebre di F .
Queste due sub-ı-algebre si dicono indipendenti se
P(AˆB) = P(A) P(B) per ogni A ɽ G e B ɽH     (1.20)
Siano poi X e Y due v.a. su (ȍ, F  ,  P). Queste saranno indipendenti se le rispettive ı-algebre da loro 
generate ı(X) e ı(Y) sono indipendenti. Una v.a. X è indipendente dalla ı-algebra G  se ı(X) e G
sono indipendenti. 
 Data la solita terna (ȍ, F,P), una v.a. X e una sub-ı-algebra G di F  quando X è G - misurabile 
l’informazione contenuta in G  è sufficiente per determinare il valore della v.a. X(Ȧ). Quando invece 
X è indipendente da G l’informazione contenuta in questa non è di nessun aiuto per determinare il 
valore di X. Nel caso intermedio, si può usare l’informazione contenuta in G  per stimare ma non 
determinare con precisione il valore di X. Una tale stima è data dal valore atteso di X condizionato 
alla conoscenza di G .
DEFINIZIONE 1.13 Sia (ȍ, F  ,  P) uno spazio di probabilità, G una sub- ı-algebra di F e infine sia 
X una v.a. integrabile. Il valore atteso di X dato G , in simboli E(X|G), è una variabile aleatoria che 
soddisfa le seguenti proprietà:
(i) E(X|G) è G - misurabile 
(ii)
³
A
E(X|G) dP(Ȧ) = 
³
A
X(Ȧ) dP(Ȧ)   per ogni A ɽ G    (1.21) 
La prima proprietà ci assicura che nonostante E(X|G) sia essa stessa una v.a. l’informazione 
contenuta in G è sufficiente per determinarne il valore. 
La seconda proprietà invece afferma che E(X|G) è in effetti una stima di X poiché dà la stessa media 
(parziale) di X per ogni  A ɽ G. Quanto più insiemi sono inclusi in G , tanto più fine sarà la 
risoluzione dell’incertezza intorno a Ȧ, e tanto migliore sarà la stima di X. Se invece G contiene solo 
pochi eventi la stima di X sarà alquanto imprecisa.  

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Informazioni tesi

  Autore: Ervin Prifti
  Tipo: Laurea II ciclo (magistrale o specialistica)
  Anno: 2005-06
  Università: Università degli Studi di Roma La Sapienza
  Facoltà: Economia
  Corso: Finanza
  Relatore: Simonetta Rabino
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 116

FAQ

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