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Modelli dinamici per la volatilità delle serie finanziarie: analisi e prove di simulazione

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Anteprima della tesi: Modelli dinamici per la volatilità delle serie finanziarie: analisi e prove di simulazione, Pagina 9
1 { Statistiche congiunte e condizionate
1.5.1 Indipendenza condizionale e regola della catena
Consideriamo ora il caso in cui le variabili X;:::;Xsiano indipendenti dalle variabili
1k
X;X;:::;X; da quanto detto precedentemente otteniamo:
k+1k+2n
f(x;:::;xjx;x;:::;x) =f(x;:::;x)
XX:::X1kk+1k+2nXX:::X1k
12k12k
ossia il condizionamento non opera.
Avendo introdotto le denizioni di CDF e PDF condizionali possiamo denire il concetto
di indipendenza condizionale tra le varibili che compongono il vettore X. Ad esempio,
Xe Xsi diranno condizionalmente indipendenti, data una terza variabile X, se risulta:
123
f(x;xjx) =f(xjx)f(xjx)
XX123X13X23
1212
La precedente equazione implica che:
f(xjx;x) =f(xjx)
X123X13
11
f(xjx;x) =f(xjx)
X213X23
22
Ossia, dato X=xil condizionamento X=xo X=xnon opera.
332211
Una relazione interessante che deriva dalla denizione di PDF condizionale  e la cosiddetta
regola della catena per le PDF. Infatti, con successivi condizionamenti, la PDF congiunta
di X si pu o fattorizzare nel prodotto di n PDF condizionali ad una dimensione, ottenendo:
f(x;:::;x) =
XX:::X1n
12n
=f(x)f(x;:::;xjx)
X1XX:::X2n1
123n
=f(x)f(xjx)f(x;:::;xjx;x)
X1X21XX:::X3n12
1234n
=:::
=f(x)f(xjx)f(xjx;x)::f(xjx;x;:::;x)
X1X21X312Xn12n 1
123n
In forma compatta, otteniamo:
 !
n
Y
f(x;:::;x) =f(xjx;::;x) f(x)
XX:::X1nXi1i 1X1
12ni1
i=2
Da notare che per alleggerire la notazione abbiamo sempre posto:
f=f8i = 2;::;n
X
iXjX;::;X
i1i 1
1.6 Medie e momenti condizionali
In questa sezione trattiamo soltanto i primi due momenti condizionali in relazione al
caso di n variabili aleatorie. Cominciamo con l’esporre i concetti nel caso pi u generale
possibile, per poi particolarizzarlo all’unico caso che risulta veramente utile in relazione al
resto dell’elaborato. Facciamo ci o sia per mantenere un’uniformit a di notazioni sia perch e
riteniamo che ogni altra particolarizzazione sia fuori luogo in questa sede.
Cominciamo dando la denizione di media condizionale, utilizzando la notazione
sintetica.
10
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Informazioni tesi

  Autore: Danilo Liani
  Tipo: Laurea II ciclo (magistrale o specialistica)
  Anno: 2009-10
  Università: Università degli Studi di Roma La Sapienza
  Facoltà: Ingegneria
  Corso: Ingegneria gestionale
  Relatore: Alberto De Santis
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 146

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