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Support Vector Machines e apprendimento statistico per l'analisi non parametrica della regressione: nuovi sviluppi teorici, software e applicazioni finanziarie

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4.2. La mappatura dei dati nello spazio delle caratteristiche47
risultato noto in letteratura, è possibile definire una particolare tipologia di
funzioni, dette funzioni kernel, in grado di fornire in maniera implicita il va-
lore del prodotto interno fra vettori di osservazioni campionarie trasformati
nello spazio delle caratteristiche.
4.2.1 Funzioni kernel e Teorema di Mercer
Come accennato in precedenza, sebbene sia possibile calcolare esplicitamen-
te due generiche trasformazione non lineari ¯ xe ¯ zcalcolando successiva-
ii
8
mente il loro prodotto interno, questa procedura risulta molto scomoda e
dispendiosa, soprattutto all’aumentare della dimensionalità dello spazio del-
le caratteristiche. Poiché il nostro effettivo interesse non è rivolto tanto alla
forma esplicita della mappaturaφfralospaziodioriginedeidatielospazio
¯
delle caratteristiche, quanto al valore del prodotto internoX¯ z,èstatain-
i
trodotta una maniera implicita di ricavare tale valore. Per ottenerlo occorre
9
considerare una funzione kernel così definita.
Definizione 4.2.1 Una funzionekernel è una funzionek tale per cui∀x,z∈
n
R
¡¢
0
00
kx,z=φ(x)φ(z)=¯ x¯ z(4.2.1)
n
doveφ rappresenta una mappatura daRad uno spazio delle caratteristiche
C.
L’utilizzo di una funzione kernel permette quindi di calcolare in ma-
niera implicita il valore del prodotto interno fra due vettori nello spazio
delle caratteristiche senza la necessità di conoscerli direttamente. Una fun-
zione kernel richiede infatti come argomenti solo due vettori appartenenti
allo spazio dei dati originari. Siccome i vettori trasformati non linearmente
nonvengonorappresentatiesplicitamente, ilnumerodioperazioninecessario
per calcolare il loro prodotto interno non è necessariamente proporzionale
alla dimensionalità dello spazio delle caratteristiche. L’utilizzo delle funzio-
ni kernel ci permetterà infatti di affrontare agevolmente anche spazi delle
caratteristiche∞-dimensionali.
Ogni funzione kernel k implica una differente mappaturaφ. Siccome
risulta molto difficile scegliere a priori la mappatura attraverso la quale
sviluppare un processo di apprendimento, ricavando solo successivamente
la funzione kernel che la rappresenta, nella pratica si preferisce considera-
re direttamente la funzione kernel e definire implicitamente la mappatura.
Il criterio mediante il quale operare tale scelta è un problema centrale al-
l’interno della tecnica SVM ed è tuttora sottoposto ad un forte dibattito
teorico. Lo spazio delle caratteristiche in cui viene sviluppato il processo
8
Vapnik [26] pag. 422.
9
Cristianini, Shawe-Taylor [8] pag.30.

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Informazioni tesi

  Autore: Stefano Ricci
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 1999-00
  Università: Università degli Studi di Pavia
  Facoltà: Economia
  Corso: Economia e Commercio
  Relatore: Carlo Giannini
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 147

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Parole chiave

econometria
finanza
forecasting
futures
reti neurali
support vector machines
kernel regression
teoria dell'apprendimento statistico

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