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Support Vector Machines e apprendimento statistico per l'analisi non parametrica della regressione: nuovi sviluppi teorici, software e applicazioni finanziarie

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50Capitolo 4. Support Vector Machines
Analogamente alla funzione kernel polinomiale, al diminuire del parametro
σ aumenta la complessità algoritmica della SVM radial basis e quindi la
sua misura di capacità, incrementando la componente di rischio di gene-
ralizzazione ad essa connessa e diminuendo quella di rischio empirico. La
dimensionalità D dello spazio delle caratteristiche indotto dalla funzione
kernel radial basis è sempre infinita.
Utilizzando una funzione kernel radial basis si presentano quei problemi
connessi alla dimensione VC accennati nel Capitolo 2 e dovuti proprio al
fattochelospaziodellecaratteristichedaessaindottoè∞-dimensionale.
14
Vale infatti il seguente Teorema.
Teorema 4.2.3 SiaD la dimensionalità dello spazio delle caratteristiche in
no
cui opera la funzione di apprendimento SVMf(w,¯ x,b)∈R : kwkD≤B.
i
`
2
Allora la dimensione VC di una funzione di perdita quadratica, laplacia-
na oε-insensitive L(y,f(w,¯ x,b)) è sempre maggiore o uguale a D ed
i
indipendente da B.
E’ chiaro quindi che, utilizzando all’interno di una SVM una funzio-
ne kernel radial basis che mappa i dati in uno spazio delle caratteristiche
∞-dimensionale, la dimensione VC ad essa associata sarà sempre infinita,
indipendentemente dal valore del parametroσ che ne regola la complessità
algoritmica e dal valore del parametroC che gestisce la relazione inversa tra
rischioempiricoerischiodigeneraliz zazione associato. Inoltre, una volta
fissato il valore diε e dei parametri della funzione kernel, una misura di
capacità efficace deve rispettare il Teorema 4.1.1 ed aumentare con il valore
diB. Il Teorema 4.2.3 evidenzia come la dimensione VC presenti dei proble-
mi nel rispettare tali condizioni e non sia adatta per definire una struttura
ammissibile sulla classe degli approssimatori, quindi per un utilizzo all’inter-
no della logica di lavoro legata al principio SRM. Proprio per l’esigenza di
risolvere queste problematiche si è giunti alla proposta di alcune generaliz-
zazioni, fra cui le misure di capacità sensibili alla scala come la dimensione
15
fat shattering. Per essa vale il seguente risultato.
no
Teorema 4.2.4 Siaf(w,¯ x,b)∈R : kwkD≤Buna funzione di appren-
i
`
2
n
dimento SVM nello spazio delle caratteristiche con dominioXnello spazio
di origine dei dati e Sla minima sfera centrata nell’origine di raggio R
R
n
contenente la mappaturaφ(x) di tutti i vettorix∈X.Alloraladimensione
³´
2
BR
fat shattering della SVM è vincolata superiormente da.
γ
La dimensione fat shattering permette quindi di stabilire una struttu-
ra ammissibile sulla classe degli approssimatori SVM e l’applicazione del
14
Evgeniou, Pontil, Poggio [11] e [10].
15
Shawe-Taylor et al. [8] pag. 62.

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Informazioni tesi

  Autore: Stefano Ricci
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 1999-00
  Università: Università degli Studi di Pavia
  Facoltà: Economia
  Corso: Economia e Commercio
  Relatore: Carlo Giannini
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 147

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Parole chiave

econometria
finanza
forecasting
futures
reti neurali
support vector machines
kernel regression
teoria dell'apprendimento statistico

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