Trasformazioni geometriche e proprietà invarianti: i punti di vista di Klein e di von Staudt

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INTRODUZIONE 
 
 
Anche se si tratta di un argomento ben noto, ricordiamo l idea centrale del 
 programma di Erlangen  di Felix Klein. Un tipo di geometria Ł assegnato 
quando sono dati un insieme X (non vuoto) e un gruppo G di trasformazioni 
su X. 
Noti X e G, ci si propone di studiare le propriet  dei sottoinsiemi  di X, le 
quali sono invarianti rispetto alle trasformazioni di G. Spesso X Ł dotato di 
una struttura, che determina il gruppo G. Per esempio, se X Ł dotato della 
struttura di spazio topologico, Ł naturale assumere come G il gruppo degli 
omeomorfismi di X e chiamare topologiche le propriet  dei sottoi nsiemi di 
X invarianti per gli omeomorfismi di G. 
Si noti che cos  si inquadra nel  programma di Erlangen  lo s tudio di un 
singolo spazio topologico, non lo studio di tutti gli spazi topologici, cosa 
che si fa invece abitualmente in topologia generale. 
Anche assegnato uno spazio ambiente, ci si pu  porre, per , oltre al 
problema indicato sopra, anche un problema leggermente diverso. 
Assegnamo ancora uno spazio topologico X; consideriamo tutti i suoi 
sottoinsiemi (non vuoti) e tutti i possibili omeomorfismi tra tali sottoinsiemi 
(non soltanto le restrizioni degli omeomorfismi dell intero spazio X). 
Gli omeomorfismi che consideriamo ora non formano piø gruppo; si pu  
parlare di un gruppoide di trasformazioni.  
Per le propriet  di sottoinsiemi di X, abbiamo ora due tipi di invar ianza: 
 
1) invarianza rispetto ai soli omeomorfismi di X; 
2) invarianza rispetto a tutti gli omeomorfismi tra sottoinsiemi di X. 
 
La seconda invarianza implica la prima (tra gli omeomorfismi tra 
sottoinsiemi di X ci sono, in particolare, le restrizioni degli omeomorfismi 
di X), ma non viceversa. 
Per esempio, si pu  considerare come X lo spazio euclideo tridim ensionale 
e come propriet  quella di una curva chiusa semplice di essere annod ata 
(con linguaggio piø tecnico: la propriet  di un nodo di essere intrecciato) . Si 
tratta di una propriet  invariante nel primo senso, ma non nel secondo.  
Chiameremo  punto di vista di Klein  lo studio dell invarianza nel  primo 
caso,  punto di vista di von Staudt  lo studio dell invarianza nel sec ondo. 
L uso di questo secondo termine Ł forse un po  arbitrario: conviene 
precisare in quale senso sia stato adottato da alcuni autori, nell ambito della 
geometria proiettiva. 
 
Nel 1847, venticinque anni prima del  programma di Erlangen , von St audt  
dimostr  che, nel piano proiettivo reale, esiste una e una sola pr oiettivit  tra 
due rette, che trasforma una terna ordinata di punti distinti della prima in 
una terna ordinata di punti distinti della seconda. ¨ stato poi dimostr ato: