Alcune caratterizzazioni delle funzioni convesse nei gruppi di Carnot

Introduzione In questa trattazione ci proponiamo di analizzare e approfondire alcune delle deni- zioni fondamentali di funzione convessa; l’ambiente nel quale lavoreremo non si limiter a a quello euclideo, ma spazier a anche tra gruppo di Heisenberg e gruppo di Carnot. Il no- stro scopo non e quello di fornire una descrizione il pi u completa possibile delle funzioni convesse, bens di soermarci solo su alcune denizioni, e derivare cos nuove caratteriz- zazioni per questa particolare classe di funzioni. Per fare questo cominceremo con denizioni e teoremi riguardanti le funzioni convesse in senso classico; se a prima vista possono apparire come informazioni banali, queste sono tuttavia essenziali ai ni della nostra trattazione. Per esempio, sar a uno strumento fondamentale nelle dimostrazioni il teorema che caratterizza le funzioni convesse di classe C 2 su un aperto convesso diR N come tutte (e sole) quelle funzioni che hanno la matrice hessiana semidenita positiva in ogni punto di questo aperto. In un secondo momento vogliamo ricavare due nuovi teoremi che caratterizzano le fun- zioni convesse ancora su un aperto convesso di R N . Il primo teorema dimostrato e il seguente (conH f intendiamo la matrice hessiana di f e con Tr l’operatore \traccia" di una matrice): Teorema 0.0.1. Siano un aperto convesso diR N e f ∈C 2 ( ). Allora: f convessa ⇐⇒ Tr (AH f )≥ 0 ∀A=A T ≥ 0: Cio e le funzioni convesse sono sottosoluzioni di una particolare classe di equazioni alle derivate parziali del second’ordine. Per la dimostrazione di questo teorema non utilizzeremo altro che il lemma di F ejer, che studia il segno dell’operatore traccia calcolato nel prodotto di due matrici N ×N (sapendo in anticipo se le matrici sono semidenite i