Giulio Giorello
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| 1- Numeri reali secondo Cantor. Lo sviluppo di un'esigenza critica nei matematici della seconda metà del sec. XIX si può schematizzare in due fasi. La prima è costituita dal processo di aritmetizzazione iniziato da Weierstrass; la seconda dal processo di logicizzazione iniziatosi con Frege, e portato al suo grado di maggiore perfezione da Russell nei primi del ?900. A questa seconda fase si innesta quel complesso di discussioni da cui si è poi sviluppata la problematica relativa ai fondamenti della matematica. Si fissi l'attenzione su Weierstrass (1819-1897). A Cauchy (1798-1857) era toccato il compito, all'inizio del sec.XIX, di sviluppare coerentemente quell'interpretazione1 dei concetti fondamentali del calcolo per cui ''la théorie de la limite est la base de la vrai métaphysique du calcul différentiel'', per dirla con D'Alembert. Cauchy in particolare aveva individuato corretto per decidere della convergenza delle serie infinite e la condizione sotto cui un numero viene generato come valore limite mediante un processo infinito. Ma proprio approfondendo le dimostrazioni di Cauchy, Weirstrass giunse alla convinzione che il criterio di Cauchy richieda la definizione del concetto di numero reale, definizione che manca, in forma esplicita, nell'opera di Cauchy. La riflessione sui numeri reali appariva così come l'ultimo passo necessario per gettare piena luce sull'edificio del calcolo di Newton o di Leibniz. Come è noto, le idee di Weirstrass sui numeri reali rimasero per vari anni allo stato di elaborazione orale2. E' nel 1872 che compaiono infine delle pubblicazioni scritte. Nessuno porta il nome di Weirstrass, ma una di esse è strettamente legata alle sue idee ed è la memoria ''Hubert Die ausdehnung eines satzes aus der theorie der trigonometrichen reihe'', dovuta a Georg Cantor (1845-1918). Oltre al tema contemplato nel titolo in esse si trova un metodo per l?introduzione dei numeri reali; il secondo lavoro è un trattato di analisi infinitesimale di Méray, che prometteva (analogamente a quanto faceva Weirstrass nei corsi orali) all?edificio del calcolo una esposizione dei numeri reali. La terza pubblicazione è la ormai classica ''Stetigkeit und irractionale zahle'' di R. Dedekind (1831-1916). Differenti definizioni dei numeri irrazionali sono oggi assai numerose. In questa sede l'interesse sarà rivolto soprattutto a quella di Cantor (con cui, sostanzialmente, quella di Méray coincide) e a quella di Dedekind. Punto di partenza per entrambe è una soddisfacente teoria dei numeri razionali. Esaminiamo per prima la teoria di Cantor. La base di quanto verrà discusso in queste pagine si trova nel concetto di successione. Si ha una successione (per es. di numeri razionali) se si sostituiscono i termini della serie naturale 1, 2, 3, 4,? con numeri qualunque (per es. razionali). E' questione controversa sia che si debbano ammettere solo successioni tali per cui si dà una legge di formazione, sia cosa intendere di preciso per ''legge'', se una formula matematica o anche una prescrizione in parole, etc. In questa sede ci si limita alle successioni convergenti: si dice che la successione a1, a2, a3,'an' converge verso il limite a (in simboli: n'lim' = a) se per quasi tutti (cioè tutti, eccetto al più un numero finito di essi) gli N vale la disuguaglianza 'a - a'< e dove e è un numero positivo, arbitrariamente piccolo. Ma sulla base dei teoremi di Cauchy si è in grado di determinare se una successione converge, pur non conoscendo il suo limite; la successione di cui sopra è convergente se, fissato un e positivo arbitrario, si può sempre determinare un indice N tale, quando sia n>N si abbia 'an – an+p '< e , per ogni numero naturale p. L'idea centrale di Cantor consiste nell'identificare un numero reale con una successione convergente di numeri razionali. Ecco il breve procedimento. Una successione che indicheremo ( an ) è in particolare una zero- successione se converge a zero. Due successioni convergenti (an), (bn) si dicono uguali allorché la successione delle differenze (an - bn) è una zero-successione. La relazione di uguaglianza tra successioni convergenti, testé introdotta, gode della proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva. E? possibile introdurre pure un ordinamento, definendo come positiva una successione se esiste un numero razionale positivo r alla cui destra cadono quasi tutti i termini della successione; e come negativa una successione se esiste un numero razionale negativo s, alla cui sinistra cadono quasi tutti i termini della successione3. Si dice quindi che la successione (an) è maggiore della successione (bn), allorché la successione (an - bn) è positiva, si dice che (an) è minore di (bn) allorché (an - bn) è negativa. Si dimostra allora che una qualunque successione convergente è positiva o è negativa o è una zero-successione e che le successioni convergenti formano un sistema totalmente ordinato. Il passo successivo consiste nell?introdurre le ordinarie operazioni nel sistema delle successioni: si definiscono così i concetti di somma, di prodotto, etc. di successivi convergenti, per esempio si pone (an) + (bn) = (an + bn), etc. Tali operazioni soddisfano le medesime proprietà formali delle analoghe operazioni sui numeri razionali: in altre parole le successioni convergenti di numeri razionali possono venire tra loro confrontate, sommate, moltiplicate come i numeri razionali stessi e il passo conclusivo è appunto quello di identificare con una successione convergente di numeri razionali insieme con tutte le successioni convergenti ad essa uguali. L'identificazione è, in realtà, fatta con un'intera classe di successioni convergenti, che può essere intesa come elemento dell'insieme quoziente dell'insieme delle successioni convergenti, modulo la relazione d'equivalenza costituita dall'eguaglianza di successioni convergenti. Questa è la ragione per cui, ogni qualvolta si definisce una nuova relazione su questi ''numeri reali'' occorre mostrare che si tratta di una relazione ben definita, cioè definita per le classi di equivalenza in cui sono ripartite le successioni, e non per i singoli rappresentanti di esse. Ci si può chiedere in che rapporto stiano i nuovi numeri con i numeri primitivi da cui siamo partiti. Il voler inserire i razionali tra questi numeri reali, come se ne costituissero una sottoclasse, è solo una confusione logica. Trascegliendo invece le successioni distinte con limite razionale, si osserva agevolmente che sussiste tra queste e i numeri razionali una corrispondenza biunivoca, simile e isomorfa4. E' questa osservazione a rendere ragione del fatto che, abitualmente, si sogliono vedere i numeri razionali come una sottoclasse del campo reale. Il risultato fondamentale che chiude infine la costruzione cantoriana è il seguente: ridefinendo sui numeri reali i concetti di successione convergente, di zero-successione, di eguaglianza di successioni, etc. si riesce a mostrare che, data una qualunque successione convergente di numeri reali, esiste una successione convergente di numeri reali razionali identificabile con essa. In breve, ciò significa che il campo dei numeri reali definiti da Cantor è chiuso rispetto a quella operazione di limite, che ha permesso la generazione del sistema dei reali a partire dai razionali. |
