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Modelli in finanza matematica: aspetti analitici e probabilistici

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Indice Introduzione iv 1 Preliminari sulla Finanza Matematica 1 1.1 Tassi d’interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Alcuni aspetti dei mercati finanziari . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Vendita allo scoperto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Strumenti finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Strumenti sottostanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Strumenti derivati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Semigruppi di Operatori ad un Parametro in Spazi di Bana- ch 13 2.1 Semigruppi fortemente continui . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Generatore infinitesimale di un semigruppo fortemente continuo 15 2.3 Richiami di teoria spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Teoremi di generazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Perturbazione di semigruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Semigruppi positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Elementi di Calcolo Stocastico 26 3.1 Processi stocastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Processi di Markov e semigruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Integrale stocastico di Itˆ o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Equazioni differenziali stocastiche . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Semigruppi Fortemente Continui Generati da Operatori Dif- ferenziali Lineari del Secondo Ordine 49 4.1 Propriet` a preliminari della teoria di Feller . . . . . . . . . . . 50 4.2 Classificazione degli estremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3 Generazione sul dominio massimale . . . . . . . . . . . . . . . 61 ii iii 4.4 Generazione con condizioni al bordo di Ventcel . . . . . . . . . 64 4.5 Esempio fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5 Dal Modello di Black e Scholes ai Modelli a Volatilit` a Stoca- stica 71 5.1 Modello di Black e Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.1.1 Derivazione dell’equazione di Black e Scholes . . . . . . 75 5.1.2 Formula di Black e Scholes per il prezzo di un’opzione call europea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2 Analisi della volatilit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.2.1 Volatilit` a implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2.2 Volatilit` a locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2.3 Volatilit` a stocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.3 Principali modelli a volatilit` a stocastica . . . . . . . . . . . . . 92 5.4 Bilancio sui modelli a volatilit` a stocastica . . . . . . . . . . . 94 6 Il Modello di Heston 96 6.1 Descrizione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.2 Formula di Heston per il prezzo di un’opzione call europea . . 99 6.3 Vantaggi e svantaggi del modello di Heston . . . . . . . . . . . 103 Conclusioni 105 A Richiami di Analisi Funzionale 107 A.1 Operatori fra spazi normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 A.2 Operatori lineari chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 B Richiami di Probabilit` a 113 B.1 Spazi di probabilit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 B.2 Variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Bibliografia 120 Ringraziamenti 123
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Modelli in finanza matematica: aspetti analitici e probabilistici

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Informazioni tesi

  Autore: Marilena Morlino
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 2010-11
  Università: Università degli Studi di Bari
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Silvia Romanelli
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 132

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Parole chiave

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volatilità costante
mercati finanziari
finanza matematica
calcolo stocastico
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dominio massimale

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