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La prezzatura delle opzioni asiatiche nei mercati di Lèvy

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I Indice Introduzione ...................................................................................................... V 1. Introduzione al modello classico .................................................................... 1 1.1 Elementi di probabilità ........................................................................................ 1 1.2 Variabile casuale ................................................................................................. 2 1.3 Processi stocastici ................................................................................................ 2 1.3.1 Processo di Markov ...................................................................................... 4 1.3.2 La passeggiata aleatoria ................................................................................ 5 1.3.3 Processo di Winer o moto Browniano ........................................................... 6 1.4 Processo stocastico per i prezzi delle azioni ......................................................... 8 1.5 Integrale stocastico e lemma di Itô ..................................................................... 11 2. Il modello di Black and Scholes e i suoi limiti ............................................. 14 2.1 Introduzione al modello ..................................................................................... 15 2.1.1 Modello nel tempo discreto......................................................................... 16 2.1.2 modello nel tempo continuo ........................................................................ 21 2.2 Limiti del modello ............................................................................................. 29 3. I processi di Lévy.......................................................................................... 34 3.1 Definizione di infinita divisibilità ...................................................................... 35 3.2 La formula di Lévy-Khintchine ......................................................................... 37 3.3 Il processo di Poisson ........................................................................................ 38 3.3.1 Processi di conteggio .................................................................................. 38 3.3.2 Variabile casuale esponenziale.................................................................... 40 3.3.3 La distribuzione di Poisson ......................................................................... 41 3.3.4 Processi di Poisson ..................................................................................... 42 3.3.5 Processo di Poisson composto .................................................................... 44 3.3.6 Processo di Poisson compensato e martingale ............................................. 45 3.4 I processi di Lévy .............................................................................................. 46 II 3.4.1 Definizione ................................................................................................. 46 3.4.2 Infinita divisibilità e processi di Lévy ......................................................... 48 3.4.3 La decomposizione di Itô-Lévy ................................................................... 50 3.4.4 La misura di Lévy ....................................................................................... 52 3.4.5 Processi di Lévy e martingale ..................................................................... 54 3.4.6 Calcolo stocastico per i processi di Lévy ..................................................... 56 3.4.6.1 Formula di Itô per i processi con salto ...................................................... 56 3.4.6.2 Formula di Itô per i processi di Lévy ........................................................ 57 3.5 Assenza di arbitraggio e completezza dei mercati nei modelli di Lévy ............... 58 4. Modelli “jump-diffusion” e “infinite activity” ............................................ 60 4.1 Modelli diffusivi a salti ..................................................................................... 61 4.1.1 Modello di Merton ...................................................................................... 62 4.1.2 Modello di Kou .......................................................................................... 63 4.2 Modelli ad attività infinita ................................................................................. 64 4.2.1 Gaussiana Normale Inversa ........................................................................ 65 4.2.2 Varianza Gamma ........................................................................................ 66 4.2.3 Cgmy.......................................................................................................... 68 4.2.4 Processo Meixner ....................................................................................... 70 4.2.5 Processo Iperbolico Generalizzato .............................................................. 71 5.Opzioni asiatiche: metodi di valutazione ...................................................... 73 5.1 L’innovazione finanziaria e i prodotti finanziari derivati .................................... 74 5.2 Le opzioni ......................................................................................................... 74 5.3 Classificazione delle opzioni ............................................................................. 76 5.4 Opzioni esotiche ................................................................................................ 76 5.4.1 Opzioni composte ....................................................................................... 77 5.4.2 Opzioni a scelta .......................................................................................... 78 5.4.3 Opzioni con barriera ................................................................................... 78 5.4.4 Opzioni binarie ........................................................................................... 78 5.4.5 Opzioni retrospettive .................................................................................. 79 5.4.6 Opzioni gridate ........................................................................................... 79 III 5.4.7 Opzioni asiatiche ........................................................................................ 80 5.4.8 Altre opzioni esotiche ................................................................................. 80 5.5 Le opzioni asiatiche ........................................................................................... 80 5.6 Principi di valutazione ....................................................................................... 82 5.6.1 L’equazione differenziale per le opzioni asiatiche ....................................... 82 5.6.2 La valutazione neutrale al rischio per le opzioni asiatiche ........................... 84 5.7 Metodi di valutazione ........................................................................................ 86 5.7.1 Approssimazioni analitiche ......................................................................... 87 5.7.1.1 Metodo di Turnbull e Wakeman............................................................... 87 5.7.1.2 Metodo di Milevsky e Posner................................................................... 91 5.7.1.3 Metodo di Vorst ....................................................................................... 92 5.7.2 Approcci con equazioni differenziali .......................................................... 95 5.7.2.1 Metodi delle differenze finite ................................................................... 96 5.7.2.2 Il metodo di Vĕcĕr e Xu ......................................................................... 100 5.7.2.3 Il caso particolare proposto da Dewynne e Wilmott ............................... 103 5.7.3 Metodi che utilizzano la trasformata di Laplace ........................................ 106 5.7.3.1 L’approccio di Geman e Yor .................................................................. 106 5.7.4 Altri metodi in letteratura.......................................................................... 110 6. Il metodo Monte Carlo ............................................................................... 112 6.1 Introduzione al metodo Monte Carlo .............................................................. 113 6.2 Simulazioni dei sentieri ................................................................................... 115 6.3 Decisione del numero di replicazioni ............................................................... 117 6.4 Tecniche per la riduzione della varianza .......................................................... 120 6.4.1 Tecnica della variabile di controllo ........................................................... 121 6.4.2 Tecnica della variabile antitetica ............................................................... 123 6.5 Espansione asintotica per la valutazione delle opzioni ..................................... 125 6.5.1 L’approccio dell’espansione asintotica nell’economia di Black & Scholes 125 6.5.2 Applicazioni finanziarie: il caso delle opzioni asiatiche ............................ 130 6.6 Confronto tra il metodo Monte Carlo e l’espansione asintotica ........................ 132 7. Analisi empirica ......................................................................................... 135 IV Appendice A ................................................................................................... 147 Appendice B ................................................................................................... 149 Bibliografia ..................................................................................................... 154 Ringraziamenti ............................................................................................... 159
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La prezzatura delle opzioni asiatiche nei mercati di Lèvy

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Informazioni tesi

  Autore: Francesca Condoleo
  Tipo: Laurea liv.II (specialistica)
  Anno: 2010-11
  Università: Università degli Studi di Milano
  Facoltà: Economia
  Corso: Economia e finanza internazionali
  Relatore: Stefano Iacus
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 170

FAQ

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Parole chiave

finanza
economia
opzioni esotiche
metodo monte carlo
levy
opzioni asiatiche
strumenti derivati
modelli di lèvy
prezzatura opzioni
modello black and scholes

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