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Risoluzione numerica dei sistemi lineari: Il metodo del Gradiente Coniugato

Informazioni tesi

  Autore: Paolo Carannante
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 2004-05
  Università: Università degli Studi di Napoli - Federico II
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Marco Lapegna
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 149

Nel presente lavoro di tesi viene proposto, sviluppato, analizzato ed applicato un particolare metodo per risolvere i sistemi di equazioni lineari, sparsi e di grandi dimensioni.
La tesi verte sullo studio del metodo del gradiente coniugato, il quale viene utilizzato come metodo iterativo, ma, come vedremo, è da considerarsi un metodo diretto.
L’obiettivo è quello di costruire un metodo per la risoluzione di sistemi lineari con matrice dei coefficienti simmetrica e definita positiva, chiarire i fondamenti matematici alla base del metodo, analizzarne le proprietà di convergenza, stabilità, accuratezza e complessità algoritmica, ed illustrare, anche attraverso esempi, i vantaggi e i punti deboli.

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4 Prefazione Nel presente lavoro di tesi viene proposto, sviluppato, analizzato ed applicato un particolare metodo per risolvere i sistemi di equazioni lineari, sparsi e di grandi dimensioni. La risoluzione di un sistema lineare ha un ruolo basilare nella matematica applicata. Diversi modelli matematici significativi, infatti, sono di tipo lineare; ma anche i modelli non lineari, in generale più idonei alla descrizione della realtà, sono spesso linearizzati, nel senso che la loro risoluzione è ricondotta alla risoluzione iterata di problemi lineari. Molti problemi, appartenenti ai più svariati settori applicativi, e quindi in apparenza completamente differenti, sono descritti in modo naturale da un modello matematico basato su un sistema di equazioni lineari. In particolare, è stato stimato che il calcolo della soluzione di un sistema lineare costituisce il nucleo principale del processo di risoluzione di circa il 70% di tutti i problemi scientifici. Ciò motiva la necessità di avere a disposizione metodi, algoritmi e software affidabili ed efficienti per la risoluzione di tali problemi. Fra i solutori disponibili, i metodi iterativi sono da preferire quando la matrice dei coefficienti è di ordine estremamente elevato e sparsa, e sono comunque d'obbligo quando la matrice dei coefficienti non è nota

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equazione lineare
euqazione
gradienti coniugati

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