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Il limite di Chandrasekhar nel suo sviluppo storico

Informazioni tesi

  Autore: Giuliano Cesare Del Moretto
  Tipo: Laurea liv.I
  Anno: 2004-05
  Università: Università degli Studi di Pisa
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Fisica
  Relatore: Scilla Degl'innocenti
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 81

Nell’elaborato è principalmente analizzata l’evoluzione storica iniziale del concetto di massa limite di una nana bianca — detto limite di Chandrasekhar — basilarmente attraverso lo studio degli articoli pubblicati sull’argomento dall’astrofisico di origine indiana Subrahmanyan Chandrasekhar nel periodo compreso tra il 1931 — anno in cui pubblica l’articolo The Maximum Mass of Ideal 'White Dwarfs', in cui espone per la prima volta l’idea di massa massima per una nana bianca — ed il 1939 — anno in cui pubblica il libro 'An Introduction to the Study of Stellar Structure', dove espone in forma definitiva la teoria sulle nane bianche —. L’analisi si sviluppa esaminando i vari modelli proposti da Chandrasekhar progressivamente in quest’arco di tempo per studiare la struttura di una nana bianca, da quello più schematico a quello più elaborato e completo. Le condizioni di densità e di temperatura in una nana bianca sono tali che la sua configurazione di equilibrio idrostatico può essere studiata facendo le seguenti approssimazioni: il gas di elettroni è completamente degenere, il contributo dei nuclei atomici alla pressione è trascurabile, così come è trascurabile la pressione di radiazione.
L’elaborato si sviluppa seguendo l’ordine cronologico dei fatti, nella prima parte dunque sono sinteticamente riportate le principali osservazioni che portarono alla nozione di nana bianca, posto in rilievo il paradosso —messo in evidenza da Eddington— cui si perviene se si utilizza la statistica classica di Maxwell-Boltzmann per descrivere il gas all’interno di una nana bianca e di come si evita questo paradosso se invece si applica la statistica di Fermi-Dirac al gas di elettroni. In particolar modo si dà risalto al fatto che il primo ad aver applicato la statistica di Fermi-Dirac per descrivere la struttura di una nana bianca è stato R. H. Fowler in un articolo pubblicato nel dicembre del 1926 dal titolo 'On Dense Matter' ; Fowler è stato il primo ad aver trovato un campo di applicazione per la statistica di Fermi-Dirac, che era stata enunciata solo pochi mesi prima. Fowler nella sua trattazione però non include gli effetti relativistici sugli elettroni e come conseguenza ottiene che possono esistere nane bianche di qualunque massa. Chandrasekhar nel 1930 riprende il lavoro di Fowler sulle nane bianche e lo generalizza includendovi gli effetti relativistici che diventano particolarmente importanti ad elevata densità. Proprio la considerazione di questi effetti darà origine ad una conseguenza sorprendente ed inaspettata, l’esistenza di un limite superiore per la massa di equilibrio di una nana bianca. Malgrado Chandrasekhar fosse convinto di aver fatto una scoperta significativa, inizialmente nessuno comprese la sua importanza.
Nel seguito dell’elaborato sono analizzati i modelli —da quello più schematico a quello più elaborato— proposti da Chandrasekhar per lo studio della configurazione delle nane bianche, i quali portano però tutti alla solita conclusione: non esiste una configurazione di equilibrio per nane bianche che superano all’incirca la massa limite (limite di Chandrasekhar). Di notevole interesse anche il criterio sviluppato da Chandrasekhar per determinare la condizione di sviluppo della degenerazione elettronica nella materia stellare: in base al suo modello, se la pressione di radiazione supera di circa un decimo il totale della pressione, allora all’interno della stella non si potrà mai sviluppare degenerazione. Applicando il modello standard di Eddington, si ricava che esiste una massa critica oltre la quale una stella non può sviluppare materia degenere. Sebbene quest’ultimo criterio attualmente non è valido, Chandrasekhar è stato il primo ad intuire che l’evoluzione finale di stelle di grande massa debba essere differente dall’evoluzione finale di stelle di piccola massa, mentre all’epoca vi era la convinzione che ogni stella, di qualunque massa, dovesse terminare come nana bianca.
Nell’ultima parte è trattata l’opposizione di A. S. Eddington all’idea che potesse esistere una massa limite per una nana bianca, si descrive dunque in modo sommario il suo punto di vista fisico e si tenta di dare una motivazione del perché avesse questa certezza. Eddington infatti aveva la ferma convinzione che ogni stella dovesse terminare la propria evoluzione sotto forma di nana bianca, ed è questa la motivazione fondamentale che lo porta a rifiutare in toto la teoria di Chandrasekhar. Eddington era un autorevole e stimato astrofisico e la sua presa di posizione, sebbene sbagliata, condizionò l’intera comunità astronomica e ritardò l’accettazione della teoria di Chandrasekhar per decenni.
In conclusione sono riportate le principali scoperte teoriche ed osservative che nell’arco degli anni portarono ad una revisione delle teorie di Chandrasekhar ed alla definitiva accettazione dell’esistenza del limite di Chandrasekhar.

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1. La scoperta delle nane bianche Nel 1844 l’astronomo e matematico tedesco Friedrich Wilhelm Bessel (1784 -1846) [1] ipotizzò l’esistenza di un’oscura compagna sia per Sirio che per Procione. Bessel analizzò le misure di posizione effettuate a partire dal 1755 — incluse quelle eseguite da lui stesso —, si accorse che da questi dati risultava che il moto proprio delle due stelle non era regolare ma presentava delle oscillazioni. Una delle possibilità per spiegare l’apparente irregolarità del moto proprio era quella che le misurazioni di posizione compiute in passato fossero errate e che in realtà il moto proprio di Sirio e Procione era regolare, ma questa eventualità venne scartata da Bessel ed assunse che i dati, nel limite dell’errore, fossero attendibili e dunque il moto proprio fosse realmente irregolare. Per spiegare quest’irregolarità Bessel ipotizzò che la causa fosse di natura gravitazionale e la cosa più plausibile era appunto che nella realtà Sirio e Procione fossero dei sistemi binari in cui le rispettive compagne non erano osservabili dalla Terra. È da rimarcare che l’annuncio dell’esistenza di una compagna per Sirio, è la prima previsione corretta dell’esistenza di una stella binaria senza che essa sia stata rivelata otticamente. L’intuizione di Bessel si rivelò essere giusta solo nell’anno 1862; il 31 gennaio Alvan Graham Clark (1832-1897) scoprì la tenue compagna di Sirio quasi nella posizione predetta da Bessel, la quale in seguito fu battezzata Sirio B. Che anche Procione era affiancata da una debole stella — Procione B — se ne ebbe la prova visiva nel 1896 per opera di John Martin Schaeberle (1853-1924), anche in questo caso in posizione molto vicina a quella calcolata da Bessel. All’epoca, dall’analisi dei dettagli orbitali del sistema binario ed applicando la terza legge di Keplero, si ricavò che la massa di Sirio B doveva essere inclusa tra 0.75 e 0.95 masse solari (valore attuale M1 ∼ ), assumendo dunque una densità paragonabile a quella del Sole, la stella avrebbe dovuto avere dimensioni simili a quelle del Sole e poiché la sua luminosità risultava pressappoco 1/360 di quella solare (valore attuale L1 400 ∼ ), si ritenne che dovesse essere più fredda, vale a dire una stella rossa. Nel 1914 Sirio B si trovava alla sua massima separazione da Sirio A — relativamente alla terra — e l’astronomo americano Walter Sydney Adams (1876-1956) ne ricavò lo spettro: risultò essere simile a quello di Sirio A che è una stella bianca, la stima della temperatura effettiva risultò essere di circa K8 000i (valore attuale K25 000 i∼ ). L’energia emessa nell’unità di tempo dall’unità di superficie dipende unicamente dalla temperatura superficiale, un’elevata temperatura dunque corrisponde ad un’elevata potenza per unità di superficie; considerato però che la luminosità di Sirio B era bassa, se ne ricavava necessariamente che la superficie emittente era piccola e di conseguenza risultava piccolo anche il raggio. Applicando l’equazione per l’emissione di corpo nero, effL R T2 44pi σ= , si concluse che il raggio di Sirio B avrebbe dovuto essere pari a Km18 800 i (valore attuale Km5 850 i∼ ) con una corrispondente densità media di g cm 361 000i (valore attuale g cm6 32.4 10× ). Il grande astrofisico Sir Arthur Stanley Eddington (1882–1944), riferendosi a Sirio B nel suo libro The Internal Constitution of the Stars del 1926, scrisse che all’apparenza si aveva a che fare con una stella di massa all’incirca pari a quella del Sole e con un raggio molto minore di quello di Urano [17, p.171]. Future osservazioni più accurate portarono ad una revisione delle grandezze, in particolare se ne ricavò — come già indicato tra parentesi — che le dimensioni volumetriche di Sirio B erano all’incirca pari a quelle della Terra mentre la massa rimaneva sempre paragonabile a quella del Sole, la densità media dunque era dell’ordine delle tonnellate per centimetro cubo [3, p.21]. Al di là dei risultati quantitativi, qualitativamente si ebbe a che fare con uno stato della materia nuovo che raggiungeva delle densità straordinariamente elevate e di cui non se ne aveva esperienza diretta sulla Terra; Sirio B è la prima nana bianca ad essere stata scoperta. Il nome nana bianca attribuito a Sirio B e alle stelle che presentano caratteristiche simili deriva dalle loro dimensioni e dal loro colore. Dalle indagini successive se ne arguì che anche la compagna di Procione, Procione B, doveva essere una nana bianca. Le ripetute osservazioni ed i calcoli conseguenti non lasciarono alcun dubbio che densità talmente

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