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Analisi e risoluzione numerica di un problema inverso di conduttività elettrica

In questa tesi, sviluppata presso la SC-AIP s.a.s., un’azienda dell’Incubatore Imprese Innovative del Politecnico di Torino, viene affrontato il problema di ricostruire il fronte piano di separazione di due regioni di un solido con conduttività diverse. L’obiettivo finale `e quello di ricostruire la conduttività del solido a partire dalle misure del potenziale elettrico che si instaura agli elettrodi in seguito a determinate correnti iniettate. Si tratta di un problema inverso non-lineare mal-posto quindi, per prima cosa verrà modellizzato, discretizzato e risolto il problema diretto ad esso associato. Poi, dopo aver affrontato le problematiche principali legate ai problemi inversi e alla loro regolarizzazione, sarà possibile, mediante un procedimento iterativo, trovare la giusta posizione del piano a partire da valori di potenziale e corrente noti.
Per risolvere il problema diretto si utilizzerà un modello matematico chiamato complete electrode model. Questo modello e tutti i metodi usati per invertire il problema sono frequentemente citati nella letteratura sulla ricostruzione di immagini attraverso la tomografia ad impedenza elettrica, una tecnica usata soprattutto in campo medico, industriale e geologico. Il modello che vedremo darà luogo ad un’equazione alle derivate parziali ellittica con condizioni al bordo di tipo misto che consente di risolvere il problema diretto.
Tutto questo sarà analizzato da un punto di vista matematico e poi risolto tramite l’utilizzo dell’ambiente di sviluppo MATLAB e di funzioni sviluppate in parte dal candidato ed in parte dalla SC-AIP.

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Capitolo 1 Introduzione Questa tesi di laurea nasce da una collaborazione con la societa` SC-AIP s.a.s. (Scientific Computing & Applied Inverse Problems) presso l’Incubatore Imprese In- novative del Politecnico di Torino. L’obiettivo della collaborazione era quello di elaborare alcune funzioni MATLAB che, insieme ad altri programmi gia` sviluppati dall’ing. Borsic, permettessero di risolvere il problema qui di seguito descritto. Supponiamo di aver un solido di un materiale che puo` assumere, al suo interno, proprieta` elettriche diverse. Nel nostro caso la proprieta` che ci interessa e` la condut- tivita` elettrica e supponiamo inoltre che questa sia costante al di sopra e al di sotto di un piano che sara` quindi il fronte di separazione tra queste due parti del solido e una discontinuita` per la funzione che rappresenta la conduttivita`. Siamo interes- sati ad ottenere una stima della posizione di questo piano utilizzando delle misure sperimentali sull’oggetto. L’idea e` quella di applicare degli elettrodi alla superficie dell’oggetto sotto misura, di utilizzare coppie di elettrodi per iniettare correnti e di misurare i potenziali elettrici risultanti agli elettrodi stessi. Da questi dati dovrem- mo poi dedurre la posizione del piano. Come vedremo, si tratta quindi di risolvere un problema inverso conoscendo i valori al bordo. Questo problema si inserisce all’interno dei recenti studi sulla ricostruzione di immagini attraverso la tomografia elettrica (Electrical Impedance Tomography, EIT) che e` la tecnica con cui si ricavano informazioni sulle proprieta` elettriche di un corpo a partire da misurazioni non-invasive al bordo. 5

Laurea liv.I

Facoltà: Ingegneria

Autore: Matteo Icardi Contatta »

Composta da 74 pagine.

 

Questa tesi ha raggiunto 893 click dal 23/02/2009.

Disponibile in PDF, la consultazione è esclusivamente in formato digitale.